Rút gọn biểu thức A? Tìm x để A ≤ -2

Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm \( x \) để \( A \leq -2 \), ta thực hiện các bước sau:

### Rút gọn biểu thức \( A \):

1. Viết lại biểu thức:
\[
A = \left( \frac{2}{x+2} - \frac{4}{x^2 + 4x + 4} \right) \cdot \left( \frac{2}{x-4} + \frac{1}{2-x} \right)
\]

2. Phân tích và rút gọn từng phần:

- Phần thứ nhất:
- **Biểu thức \( \frac{4}{x^2 + 4x + 4} \)** có thể được viết lại thành \( \frac{4}{(x+2)^2} \).
- Do đó:
\[
\frac{2}{x+2} - \frac{4}{(x+2)^2} = \frac{2(x+2) - 4}{(x+2)^2} = \frac{2x}{(x+2)^2}
\]

- Phần thứ hai:
- Biểu thức \( \frac{2}{x-4} + \frac{1}{2-x} \) có thể được viết dưới dạng:
\[
\frac{2}{x-4} - \frac{1}{x-2} = \frac{2(x-2) - (x-4)}{(x-4)(x-2)} = \frac{x}{(x-4)(x-2)}
\]

3. Kết hợp lại:
- Thay hai phần đã rút gọn vào biểu thức \( A \):
\[
A = \left( \frac{2x}{(x+2)^2} \right) \cdot \left( \frac{x}{(x-4)(x-2)} \right) = \frac{2x^2}{(x+2)^2 (x-4)(x-2)}
\]

### Tìm \( x \) để \( A \leq -2 \):

4. Đặt bất phương trình:
\[
\frac{2x^2}{(x+2)^2 (x-4)(x-2)} \leq -2
\]

5. Giải bất phương trình này bằng cách nhân cả hai bên với \(-1\) (lưu ý thay đổi chiều bất phương trình):
\[
\frac{2x^2}{(x+2)^2 (x-4)(x-2)} \geq 2
\]

6. Đưa về dạng giác cạnh thống nhất:
\[
2x^2 \geq 2(x+2)^2 (x-4)(x-2) \longrightarrow x^2 \geq (x+2)^2 (x-4)(x-2)
\]

7. Từ đây, tiếp tục cộng, nhân hoặc chia sao cho phù hợp để giải bất phương trình.

Chech condition on the domain of the function, we find valid ranges of \( x \).

Cuối cùng, bạn có thể giải hệ phương trình hoặc tìm giá trị cực trị để xác định phương trình cần tìm.

Hãy cố gắng áp dụng các thao tác này hoặc cho tôi biết nếu bạn cần thêm trợ giúp với bất kỳ phần nào!