Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc đường thẳng d. H là hình chiếu của A trên d. Vẽ 2 đường xiên AM và AN cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AH sao cho AMH = 60 độ, ANH = 30 độ. Biết rằng AM = 7, tính độ dài hình chiếu của AM, AN trên d

Để tính độ dài hình chiếu của các đoạn AM và AN trên đường thẳng d, bạn có thể sử dụng công thức hình chiếu trong tam giác vuông.

### Bước 1: Tính độ dài hình chiếu của AM trên d

Gọi \( M' \) là hình chiếu của \( AM \) trên đường thẳng \( d \). Theo định nghĩa, độ dài hình chiếu \( AM' \) được tính bằng công thức:

\[
AM' = AM \cdot \cos(AMH)
\]

Với \( AM = 7 \) và \( AMH = 60^\circ \):

\[
AM' = 7 \cdot \cos(60^\circ)
\]

Biết rằng \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \):

\[
AM' = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5
\]

### Bước 2: Tính độ dài hình chiếu của AN trên d

Tương tự, gọi \( N' \) là hình chiếu của \( AN \) trên đường thẳng \( d \). Độ dài hình chiếu \( AN' \) được tính bằng:

\[
AN' = AN \cdot \cos(ANH)
\]

Để tính được \( AN \), trước tiên chúng ta cần tìm độ dài của \( AN \). Dùng định lý sin trong tam giác vuông mà có góc \( ANH = 30^\circ \) (giả sử AN = x):

\[
AN = \frac{AM \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(30^\circ)}
\]
\[
AN = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = 7 \sqrt{3}
\]

Vậy độ dài hình chiếu \( AN' \):

\[
AN' = AN \cdot \cos(ANH) = 7\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)
\]

Biết \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[
AN' = 7\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{21}{2} = 10.5
\]

### Kết quả

- Độ dài hình chiếu của \( AM \) trên \( d \) là \( 3.5 \).
- Độ dài hình chiếu của \( AN \) trên \( d \) là \( 10.5 \).