Để rút gọn biểu thức \( M = \frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \), ta sẽ nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \):

\[
M = \frac{(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}
\]

**Bước 1: Tính mẫu.**

Mẫu sẽ được tính như sau:

\[
(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b
\]

**Bước 2: Tính tử.**

Tử sẽ được tính như sau:

\[
(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a\sqrt{b}\sqrt{a} + a\sqrt{b}\sqrt{b} + b\sqrt{a}\sqrt{a} + b\sqrt{a}\sqrt{b}
\]

\[
= a\sqrt{ab} + ab + b\sqrt{a^2} + b\sqrt{ab}
\]

\[
= ab + a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab} + b\sqrt{a}
\]

Do đó, ta có:

\[
M = \frac{ab + (a + b)\sqrt{ab}}{a - b}
\]

**Bước 3: Tính giá trị của \( M \) tại \( a = 2, b = 8 \)**.

Thay \( a = 2 \) và \( b = 8 \) vào biểu thức đã rút gọn:

\[
M = \frac{2 \cdot 8 + (2 + 8)\sqrt{2 \cdot 8}}{2 - 8}
\]

Tính giá trị:

\[
M = \frac{16 + 10\sqrt{16}}{2 - 8} = \frac{16 + 10 \cdot 4}{-6} = \frac{16 + 40}{-6} = \frac{56}{-6} = -\frac{28}{3}
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( M \) tại \( a = 2, b = 8 \) là:

\[
M = -\frac{28}{3}
\]