Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Giải thích tại sao \( mn \parallel pq \)

Theo định lý về góc so le trong (hay còn gọi là tính chất của hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng), nếu hai góc chéo nhau tại một điểm là bằng nhau thì hai đường thẳng song song sẽ có mặt.

1. Ta có \( \angle ABC = 60^\circ \) và \( \angle ABM = 60^\circ \).
2. Vì \( d \perp mn \) tại D, nên \( \angle ADC = 90^\circ \).
3. Do \( \angle ABC + \angle DAB = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \), và tổng số đo các góc trong một tam giác là \( 180^\circ \),
\[
\angle DAB + \angle DBC = 120^\circ.
\]
Vậy, \( \angle DBC = \angle ABC - \angle DAB = 60^\circ - 60^\circ = 0^\circ \).

Vì vậy, từ tính chất trên, ta có thể kết luận rằng \( mn \parallel pq \).

### b) Tính số đo của \( \angle CAD \) và \( \angle DCB \)

- **Tính số đo của \( \angle CAD \)**:
- Trong tam giác \( ACD \), ta có \( \angle DAB = 60^\circ \) và \( \angle ADC = 90^\circ \).
- Tổng số đo các góc của tam giác \( ACD \) là \( 180^\circ \):
\[
\angle CAD + \angle DAB + \angle ADC = 180^\circ
\]
\[
\angle CAD + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle CAD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ.
\]

- **Tính số đo của \( \angle DCB \)**:
- Trong tam giác \( BCD \), ta có \( \angle DBC = 60^\circ \) và \( \angle DCB = x \):
\[
\angle DBC + \angle DCB + \angle BDC = 180^\circ.
\]
- Suy ra tổng có thể được tính như sau:
\[
60^\circ + \angle DCB + 90^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle DCB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ.
\]

### Kết luận:

- \( mn \parallel pq \) vì \( \angle ABC = \angle ABM \).
- \( \angle CAD = 30^\circ \) và \( \angle DCB = 30^\circ \).