Nhà bà Hạnh có một miếng đất hình tam giác ABC có cạnh BC = 30m và đường cao AH = 12m. Bà Hạnh muốn dựng một ngôi nhà có nền hình chữ nhật hai đỉnh nằm trên cạnh BC, hai đỉnh còn lại lần lượt thuộc cạnh AB, AC. Tính diện tích lớn nhât của nền nhà

Để tính diện tích lớn nhất của nền nhà hình chữ nhật trong tam giác ABC, ta sẽ tiến hành như sau:

1. **Tính diện tích của tam giác ABC**:
Diện tích \( S \) của tam giác có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 30 \times 12 = 180 \text{ m}^2.
\]

2. **Mô tả hình chữ nhật**:
Gọi nền nhà hình chữ nhật là \( DEFG \), trong đó \( D \) và \( E \) nằm trên cạnh \( BC \), và \( F \) và \( G \) nằm trên các cạnh \( AB \) và \( AC \) tương ứng.

3. **Giả sử chiều dài của cạnh \( DE \) là \( x \)**:
Vậy chiều cao của hình chữ nhật sẽ là \( h \) từ \( DE \) lên đến đỉnh \( A \).

4. **Liên hệ giữa diện tích của hình chữ nhật và các đoạn**:
Theo tỉ số hình học trong tam giác, ta có thể sử dụng tỉ lệ để tính chiều cao \( h \) dựa vào \( x \).
Khi ta chia cạnh \( BC \) thành 2 đoạn: \( DB \) và \( EC \), độ dài phân đoạn này là \( y \) và \( 30 - y \) (ở 2 đầu của rectangle).

5. **Tính chiều cao \( h \)**:
Diện tích hình chữ nhật \( S_{hcn} \) là:
\[
S_{hcn} = x \times h.
\]
Sử dụng tỉ lệ cao hơn để xác định \( h \):
\[
h = \frac{12 \cdot (30 - y)}{30}.
\]

6. **Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật**:
Ta có thể viết lại chiều cao theo \( x \) và tìm nghiệm cực đại.

Tuy nhiên, trong thực tế, diện tích lớn nhất của nền nhà chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
S_{hcn} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABC}.
\]
Ứng với diện tích tam giác đã tính trước đó:
\[
S_{hcn} = \frac{1}{2} \cdot 180 = 90 \text{ m}^2.
\]

7. **Kết luận**:
Diện tích lớn nhất của nền nhà hình chữ nhật mà bà Hạnh có thể xây dựng là:
\[
\boxed{90 \text{ m}^2}.
\]