Để rút gọn biểu thức \( A = \cos^2 42^\circ \cdot \sin 30^\circ + \sin^2 42^\circ \cdot \cos 60^\circ \), trước hết ta sẽ thay các giá trị của \(\sin\) và \(\cos\):

- \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
- \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)

Thay vào biểu thức:

\[
A = \cos^2 42^\circ \cdot \frac{1}{2} + \sin^2 42^\circ \cdot \frac{1}{2}
\]

Rút gọn:

\[
A = \frac{1}{2} \cos^2 42^\circ + \frac{1}{2} \sin^2 42^\circ
\]

\[
A = \frac{1}{2} (\cos^2 42^\circ + \sin^2 42^\circ)
\]

Theo định lý Pythagore:

\[
\cos^2 42^\circ + \sin^2 42^\circ = 1
\]

Vậy ta có:

\[
A = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}
\]

Do đó, giá trị rút gọn của \( A \) là:

\[
A = \frac{1}{2}
\]