Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ Ax và By là 2 tiếp tuyến. Qua M bất kỳ thuộc đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ 3 lần lượt cắt Ax và By tại C và D. AD và BC cắt nhau tại N

Để chứng minh \( MN \parallel AC \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học phẳng liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn.

1. **Khẳng định về tiếp tuyến**: Từ điểm \( M \) trên đường tròn (O), ta có \( MC \) là tiếp tuyến với đường tròn tại \( M \) và \( MD \) cũng là tiếp tuyến tại \( M \). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

- \( MO \perp MC \)
- \( MO \perp MD \)

Điều này có nghĩa là đường thẳng \( MO \) vuông góc với cả \( MC \) và \( MD \).

2. **Khẳng định góc**: Xét tam giác \( AMN \) và \( CMA \):
- Gọi \( A' \) là giao điểm của đường thẳng \( AM \) với đường thẳng \( CD \).
- Do đó, ta xét góc \( \angle AMN \) và \( \angle A'CM \).

3. **Sử dụng định lý góc**: Áp dụng định lý về góc trong tam giác, ta có:
\[
\angle AMN = \angle A'CM
\]
Theo lý thuyết về tiếp tuyến với đường tròn thì cả hai góc này bằng nhau vì chúng đều là góc tạo bởi một tiếp tuyến và một cạnh của tam giác có cạnh nối với đường tròn.

4. **Suy ra tính chất song song**: Nếu \( \angle AMN = \angle A'CM \), thì theo định lý góc trong giao điểm của hai đường thẳng, và từ đó kéo theo:
\[
MN \parallel AC
\]
Bởi vì, nếu hai đường thẳng cắt nhau, tạo thành cặp góc so le trong bằng nhau, thì hai đường thẳng này là song song.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MN \parallel AC \).