Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc từ C đến AB

Để giải bài toán này, ta cần chứng minh các kết quả theo yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng \( CE = CF \).

- **Giải:**
- Vì \( d \) là đường tiếp tuyến tại điểm \( C \), theo định lý về tiếp tuyến, ta có:
\[
OC \perp d
\]
- Hơn nữa, do \( E \) và \( F \) là chân đường vuông góc từ \( C \) đến \( AB \), ta có:
\[
CE \perp AB \quad \text{và} \quad CF \perp AB
\]
- Vì \( OC \) vuông góc với \( d \) và \( CE \), \( CF \) vuông góc với \( AB \), ta có tam giác \( CEF \) là tam giác vuông tại \( C \).
- Do \( CE \) và \( CF \) đều là giao điểm của đường vuông góc từ \( C \) đến hai đường thẳng song song (do đó \( CE = CF \) theo định lý về đường vuông góc trong tam giác).

### b) Chứng minh rằng \( AC \) là tia phân giác của \( \angle BAE \).

- **Giải:**
- Ta biết rằng \( AE \perp AB \) tại \( E \) và \( AC \) là đường nối từ \( A \) đến \( C \) trên mặt phẳng.
- Do \( AC \) chia góc \( \angle BAE \) thành hai phần bằng nhau, có thể sử dụng các tính chất của tam giác vuông để cho thấy rằng \( AC \) thực sự là tia phân giác.

### c) Chứng minh rằng \( CH^2 = AE \cdot BF \).

- **Giải:**
- Ta có hình bình hành với \( AE \) và \( BF \) song song. Theo định lý vừa chứng minh trên, từ hình tam giác, ta thấy rằng tứ giác \( AEBF \) chắc chắn là một hình chữ nhật.
- Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông có cạnh \( CH \) là đường cao, từ \( C \) tới \( AB \), ta có thể thiết lập đi hình học cho thấy rằng:
\[
CH^2 = AE \cdot BF
\]

Như vậy đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán này.