Cho ∆ABC nhọn có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt tia phần giác của ∠BAC tại I. Kẻ IH ⊥ AB tại H, IK ⊥ AC tại K

Để chứng minh các định lý trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của tam giác, đặc biệt là tam giác vuông và các trung điểm.

**Giả thuyết:**
- Cho ∆ABC nhọn với AB < AC.
- M là trung điểm của BC.
- I là giao điểm của đường thẳng qua M vuông góc với BC với tia phần giác của ∠BAC.
- H là giao điểm của IH với AB.
- K là giao điểm của IK với AC.

**Cần chứng minh:**
a) IB = IC
b) IH = IK
c) BH = CK

**Chứng minh:**

a) **IB = IC:**

Xét tam giác ∆BIC. Ta có:
- BM = MC (M là trung điểm của BC)
- ∠IBM = ∠ICM (cùng bằng ∠BAC, do I nằm trên tia phần giác của ∠BAC)
- IM là đường thẳng đi qua điểm I, vuông góc với BC.

Từ đó, ta có ∆BIM và ∆CIM là hai tam giác vuông tại M. Theo tiêu chuẩn tam giác vuông vuông góc tại một điểm và có cạnh huyền giống nhau, ta có IB = IC.

b) **IH = IK:**

Trong tam giác vuông tại H và tam giác vuông tại K. Chúng ta có:
- IH ⊥ AB và IK ⊥ AC.
- Do ∠BIA = ∠CIA (cùng bằng ∠I) và ∠AIB = ∠AIC.

Nên ∆HIA và ∆KIA là hai tam giác vuông có cùng góc A. Vì vậy, theo trường hợp góc và cạnh, IH = IK.

c) **BH = CK:**

Theo tính chất của tam giác, ta có:
- ∆BHM và ∆CKM đều có:
- BH = MI (cùng thẳng đứng).
- CK = MI.

Từ đó kết luận BH = CK, do M là trung điểm của BC.

**Kết luận:** Từ các bước trên, chúng ta đã chứng minh được:
- IB = IC
- IH = IK
- BH = CK

Như vậy, tất cả các yêu cầu trong bài toán đã được chứng minh.