Cho ∆ABC nhọn có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt tia phân giác của ∠BAC tại I. Kẻ IH ⊥ AB tại H, IK ⊥ AC tại K

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng tính chất của các hình học trong tam giác và một số định lý cơ bản.

**a) Chứng minh \( IB = IC \)**

Ta có điểm \( I \) nằm trên tia phân giác của góc \( \angle BAC \), do đó theo định lý phân giác, có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{IB}{IC}
\]

Vì \( AB < AC \), \( I \) sẽ nằm gần \( B \) hơn và sẽ chia \( BC \) thành \( IB \) và \( IC \). Thêm vào đó, \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( MB = MC \). Do đó, ta có:

\[
IB = IC
\]

**b) Chứng minh \( IH = IK \)**

Vì \( IH \perp AB \) và \( IK \perp AC \), cũng như \( I \) là điểm nằm trên tia phân giác và \( AB \), \( AC \) gặp nhau tại \( A \), mọi đường vuông góc từ điểm \( I \) đến các cạnh còn lại (tức là \( AB \) và \( AC \)) sẽ tạo ra hai hình chữ nhật, do đó:

\[
IH = IK
\]

**c) Chứng minh \( BH = CK \)**

Ta có \( H \) là hình chiếu của \( I \) lên \( AB \) và \( K \) là hình chiếu của \( I \) lên \( AC \). Theo tính chất hình chiếu trong tam giác vuông, đồng thời \( AB \) và \( AC \) cũng tạo nên sự đối xứng với trung điểm \( M \), ta có:

\[
BH = CK
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả ba yêu cầu của bài toán.