Để tìm giá trị của \( a \), chúng ta cần sử dụng tính chất của tam giác vuông và định nghĩa của hàm sin.

Thời điểm này, chúng ta có một hình chữ nhật và cần tính giá trị của \(\sin \angle XOY\).

1. **Xác định chiều cao và cạnh nền của tam giác**:
- Chiều cao \( OA = 6 \) m.
- Chiều dài \( AX = 10 \) m.

2. **Tính giá trị của sin**:
- Theo định nghĩa, \(\sin \theta = \frac{h}{c}\) trong đó \( h \) là chiều cao và \( c \) là cạnh huyền.
- Cạnh huyền \( OX \) có thể tính được sử dụng định lý Pythagore:
\[
OX = \sqrt{OA^2 + AX^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}
\]

3. **Tính sin**:
\[
\sin(XOY) = \frac{OA}{OX} = \frac{6}{2\sqrt{34}} = \frac{3}{\sqrt{34}}
\]

4. **So sánh với giá trị đã cho**:
Ta có:
\[
\sin(XOY) = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{a \sqrt{41}}{205}
\]

5. **Giải phương trình**:
Để tìm \( a \), ta thực hiện phép nhân chéo:
\[
3 \cdot 205 = a \sqrt{41} \cdot \sqrt{34}
\]
\[
615 = a \cdot \sqrt{1414}
\]

6. **Giá trị cuối cùng**:
\[
a = \frac{615}{\sqrt{1414}}
\]

Để đơn giản hơn, có thể tìm giá trị xấp xỉ hoặc biểu thức tiếp tục phương trình.

Vậy giá trị cuối cùng của \( a \) là:
\[
a = \frac{615}{\sqrt{1414}}
\]
Đây là cách tính giá trị của \( a \) từ các yếu tố trong hình học và sin.