Để chứng minh các luận điểm trong hình vẽ, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh rằng \( xy \parallel BD \)

- Ta có hai đường thẳng \( AB \) và \( CD \) cắt nhau tại điểm \( I \).
- Từ tính chất góc so le trong, ta có:
- \( \angle AIB = 130^\circ \)
- \( \angle CID = 50^\circ \)
- Do đó, ta có:
\[
\angle AIB + \angle CID = 180^\circ
\]
Vậy nên, theo định lý về các đường thẳng song song (nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng bị cắt bới một đường thẳng khác sẽ song song), suy ra:
\[
xy \parallel BD
\]

### b) Chứng minh rằng \( AB \parallel CD \)

- Để chứng minh \( AB \parallel CD \), ta cũng sử dụng góc phụ.
- Ta có \( \angle AIB = 130^\circ \) và \( \angle AIC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)
- Tương tự, ta chứng minh rằng:
\[
\angle AIC + \angle DIC = 180^\circ
\]
Như vậy, theo quy tắc góc phụ:
\[
AB \parallel CD
\]

### c) Tính số đo góc \( ABC \)

Từ các thông tin đã có, ta có thể sử dụng quy tắc tổng góc trong tam giác \( ABC \):
\[
\angle ABC = 180^\circ - \angle ACI - \angle CAB
\]

### d) Tia đối của tia \( BD \) có là phần phụ của \( \triangle ABC \) không?

- Nếu \( BD \) cắt \( AC \), thì tia đối của \( BD \) sẽ vuông góc với \( AC \) và có thể là phần phụ của \( \triangle ABC \). Do đó, cần phải kiểm tra các tọa độ và số đo các góc để khẳng định điều này.

Tóm lại, để chứng minh các luận điểm này, ta cần dựa vào các mối quan hệ giữa các góc và tính chất của các đường thẳng song song.