Để chứng minh ba số \( 2^m, 2^n, 2^p \) lập thành cấp số nhân, ta bắt đầu với điều kiện đã cho: các số \( m, n, p \) là ba số tự nhiên theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Điều này có nghĩa là:

\[
n - m = p - n
\]

Từ đó, ta có:

\[
n = \frac{m + p}{2}
\]

Bây giờ, chúng ta xác định tỉ số giữa các số \( 2^m, 2^n, 2^p \):

- Tỉ số giữa \( 2^n \) và \( 2^m \):

\[
\frac{2^n}{2^m} = 2^{n - m}
\]

- Tỉ số giữa \( 2^p \) và \( 2^n \):

\[
\frac{2^p}{2^n} = 2^{p - n}
\]

Theo điều kiện \( n - m = p - n \), ta có \( n - m = p - n \). Do đó, ta có:

\[
n - m = p - n \implies 2^{n - m} = 2^{p - n}
\]

Vì vậy, \( \frac{2^n}{2^m} = \frac{2^p}{2^n} \), có nghĩa là tỉ số giữa \( 2^n \) và \( 2^m \) bằng tỉ số giữa \( 2^p \) và \( 2^n \). Điều này cho thấy \( 2^m, 2^n, 2^p \) là ba số lập thành cấp số nhân.

Vậy ta đã chứng minh được \( 2^m, 2^n, 2^p \) lập thành cấp số nhân.