Để tìm giá trị của \( n \in \mathbb{N} \) trong mỗi trường hợp của bài tập, ta giải từng phần như sau:

### a) \( 14 \) chia hết cho \( n - 1 \)

Điều này có nghĩa là \( n - 1 \) là ước của \( 14 \). Các ước của \( 14 \) là \( 1, 2, 7, 14 \).

Vì vậy, ta có:
- \( n - 1 = 1 \) → \( n = 2 \)
- \( n - 1 = 2 \) → \( n = 3 \)
- \( n - 1 = 7 \) → \( n = 8 \)
- \( n - 1 = 14 \) → \( n = 15 \)

Các giá trị hợp lệ của \( n \) là: **\( 2, 3, 8, 15 \)**.

### b) \( 3n + 4 \) chia hết cho \( n - 1 \)

Đặt \( k = n - 1 \), vậy \( n = k + 1 \). Thay vào biểu thức:

\[
3(k + 1) + 4 = 3k + 7
\]

Ta cần \( 3k + 7 \) chia hết cho \( k \).

\[
3k + 7 \equiv 0 \, (\text{mod} \, k) \Rightarrow 7 \equiv 0 \, (\text{mod} \, k)
\]

Điều này có nghĩa là \( k \) là ước của \( 7 \), và các ước của \( 7 \) là \( 1, 7 \). Vậy:

- \( k = 1 \) → \( n = 2 \)
- \( k = 7 \) → \( n = 8 \)

Các giá trị hợp lệ của \( n \) là: **\( 2, 8 \)**.

### c) \( 8n + 13 \) chia hết cho \( 4n + 3 \)

Ta thực hiện phép chia:

\[
\frac{8n + 13}{4n + 3} = 2 + \frac{7}{4n + 3}
\]

Để \( \frac{7}{4n + 3} \) là số nguyên, \( 4n + 3 \) phải là ước của \( 7 \). Các ước của \( 7 \) là \( 1, 7 \).

- \( 4n + 3 = 1 \) → \( n = -\frac{1}{4} \) (không hợp lệ)
- \( 4n + 3 = 7 \) → \( 4n = 4 \) → \( n = 1 \)

Giá trị hợp lệ của \( n \) là: **\( 1 \)**.

### d) \( n^2 + 5 \) chia hết cho \( n + 2 \)

Sử dụng định lý phần dư:

\[
n^2 + 5 = (n + 2)(n - 2) + 9
\]

Do vậy, \( n + 2 \) chia hết cho \( n + 2 \) nếu \( 9 \) chia hết cho \( n + 2 \). Các ước của \( 9 \) là \( 1, 3, 9 \). Vậy:

- \( n + 2 = 1 \) → \( n = -1 \) (không hợp lệ)
- \( n + 2 = 3 \) → \( n = 1 \)
- \( n + 2 = 9 \) → \( n = 7 \)

Các giá trị hợp lệ của \( n \) là: **\( 1, 7 \)**.

Tóm lại:

- **a)** \( 2, 3, 8, 15 \)
- **b)** \( 2, 8 \)
- **c)** \( 1 \)
- **d)** \( 1, 7 \)