Để tính biểu thức \((\sqrt{14} + \sqrt{6})\sqrt{5 - \sqrt{21}}\), chúng ta có thể bắt đầu bằng cách tính giá trị của \(\sqrt{5 - \sqrt{21}}\).

Bước 1: Tính \(\sqrt{5 - \sqrt{21}}\).

Để đơn giản hóa \(5 - \sqrt{21}\), ta có thể xem xét nó dưới dạng \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\):

Giả sử \(\sqrt{5 - \sqrt{21}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\).

Bình phương cả hai bên:

\[
5 - \sqrt{21} = a + b - 2\sqrt{ab}
\]

Vậy, ta có hai phương trình:

1. \(a + b = 5\)
2. \(-2\sqrt{ab} = -\sqrt{21} \rightarrow \sqrt{ab} = \frac{\sqrt{21}}{2}\)

Bình phương tiếp:

\[
ab = \frac{21}{4}
\]

Giải hệ phương trình:

Từ \(a + b = 5\) và \(ab = \frac{21}{4}\), ta có thể viết được đa thức:

\[
x^2 - (a+b)x + ab = 0 \rightarrow x^2 - 5x + \frac{21}{4} = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:

\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 21}}{2} = \frac{5 \pm 2}{2}
\]

Cụ thể:

\[
x_1 = \frac{7}{2}, \quad x_2 = \frac{3}{2}
\]

Vậy \(a = \frac{7}{2}\) và \(b = \frac{3}{2}\) hoặc ngược lại.

Do đó:

\[
\sqrt{5 - \sqrt{21}} = \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}
\]

Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu:

\[
(\sqrt{14} + \sqrt{6}) \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}
\]

Bước 3: Rút gọn:

Tiến hành phân phối:

\[
\frac{(\sqrt{14} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14} \sqrt{7} - \sqrt{14} \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{7} - \sqrt{6} \sqrt{3}}{\sqrt{2}}
\]

Tính các căn bậc hai:

\[
\sqrt{14}\sqrt{7} = \sqrt{98}, \quad \sqrt{14}\sqrt{3} = \sqrt{42}, \quad \sqrt{6}\sqrt{7} = \sqrt{42}, \quad \sqrt{6}\sqrt{3} = \sqrt{18}
\]

Biểu thức trở thành:

\[
\frac{(\sqrt{98} - \sqrt{42} + \sqrt{42} - \sqrt{18})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{98} - \sqrt{18}}{\sqrt{2}}
\]

Vậy cuối cùng:

\[
\frac{\sqrt{98} - \sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2} = \frac{(7-3)\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\mathbf{2\sqrt{2}}
\]