Để tính góc \( ABI \) trong tam giác \( ABC \) cân tại \( B \) với \( \angle ABC = 80^\circ \) và \( \angle ACB = 80^\circ \), trước hết ta có thể tính góc \( BAC \):

\[
\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 80^\circ - 80^\circ = 20^\circ.
\]

Giờ đây giả sử góc tại điểm \( I \) là \( \angle IAC = 10^\circ \) và \( \angle ICA = 30^\circ \).

Ta có thể tìm góc \( AIC \):

\[
\angle AIC = 180^\circ - \angle IAC - \angle ICA = 180^\circ - 10^\circ - 30^\circ = 140^\circ.
\]

Bây giờ, để tìm góc \( ABI \), ta có thể sử dụng tổng hợp các yếu tố sau:

\[
\angle ABI = \angle ABC - \angle IBA,
\]

với \( \angle IBA \) là góc tại điểm \( I \) trong tam giác \( IAC \).

Tính được \( \angle IBA \):
\[
\angle IBA = 180^\circ - \angle AIB - \angle IAC.
\]

Tuy nhiên, để tìm \( \angle AIB \), ta sẽ cần dùng:
\[
\angle AIB = 180^\circ - \angle AIC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ.
\]

Vì vậy,
\[
\angle IBA = 180^\circ - 40^\circ - 10^\circ = 130^\circ.
\]

Cuối cùng, chúng ta có thể tính được góc \( ABI \):

\[
\angle ABI = \angle ABC - \angle IBA = 80^\circ - 130^\circ = -50^\circ.
\]

Nhưng điều này vô lý vì góc của tam giác không thể âm. Do đó tôi phải xem xét lại cách tiếp cận. Kiểm tra lại các dữ liệu và cách làm.

Thực tế là,
\[
\angle ABI = \angle ABC - (180^\circ - \angle IBA) = 80^\circ - 130^\circ = -50^\circ.
\]

Rõ ràng rằng \( \angle ABI \) không hợp lệ trong trường hợp này. Thay vào đó có thể dùng vòng tròn ngoại tiếp hoặc các quy tắc lượng giác khác để kết hợp với lưu ý mà có thể không chính xác trong diễn giải.

Tại đây, chúng ta cần thêm thông tin để có kết quả đúng.

Từ những phân tích, khi thống nhất lại,
Ta thấy rằng:
- Độ lớn thực tế của góc không thể diễn ra như đã tính. Kiểm tra lại ba điểm và kết nối với các tính chất hình học để tìm ra gốc góc với cách tính đúng trong tam giác tạo ra.

Kết quả có thể được tính từ dữ liệu khác phụ thuộc vào tổ chức và cách đưa ra tính chính xác cho việc đưa góc \( ABI \) thực tế ra chính xác hơn. Giả định và so sánh có thể 15° là con số 20° với liệu thuyết rõ ràng từ các nguồn trầm hướng.