Để giải bài toán về tứ diện ABCD với các điểm M, N, P như đã cho, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABD)

1. **Lập phương trình mặt phẳng (ABD)**:
- Giả sử các điểm A, B, C, D có tọa độ là \( A(a_1, a_2, a_3) \), \( B(b_1, b_2, b_3) \), \( C(c_1, c_2, c_3) \), \( D(d_1, d_2, d_3) \).
- Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABD) bằng cách sử dụng hai vector nằm trong mặt phẳng:
\[
\vec{AB} = B - A = (b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3)
\]
\[
\vec{AD} = D - A = (d_1 - a_1, d_2 - a_2, d_3 - a_3)
\]
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABD) là:
\[
\vec{n}_{ABD} = \vec{AB} \times \vec{AD}
\]

- Phương trình mặt phẳng (ABD) có dạng:
\[
n_x(x - a_1) + n_y(y - a_2) + n_z(z - a_3) = 0
\]
trong đó \(\vec{n}_{ABD} = (n_x, n_y, n_z)\).

2. **Lập phương trình mặt phẳng (MNP)**:
- Tọa độ điểm M là trung điểm BC:
\[
M = \left(\frac{b_1 + c_1}{2}, \frac{b_2 + c_2}{2}, \frac{b_3 + c_3}{2}\right)
\]
- Tọa độ điểm N là trung điểm AC:
\[
N = \left(\frac{a_1 + c_1}{2}, \frac{a_2 + c_2}{2}, \frac{a_3 + c_3}{2}\right)
\]
- Lập vector \( \vec{MN} \):
\[
\vec{MN} = N - M
\]
- Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) bằng cách sử dụng hai vector \(\vec{MN}\) và \(\vec{MP}\) (trong đó P được xác định trên cạnh BD).

3. **Tìm giao tuyến**:
- Sử dụng phương trình của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD), giải hệ phương trình để tìm giao tuyến, tức là tìm điểm chung của hai mặt phẳng.

### b. Xác định phần chung của mặt phẳng (MNP) với tứ diện ABCD

1. Mặt phẳng (MNP) có thể chia tứ diện ABCD thành hai phần. Để xác định phần chung, ta cần xác định các giao điểm giữa mặt phẳng (MNP) với các cạnh của tứ diện, tức là các đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD.

2. Tìm các điểm giao điểm giữa mặt phẳng (MNP) và các cạnh này. Sử dụng phương trình mặt phẳng để kiểm tra xem các điểm có nằm trên các cạnh không.

3. Phần chung sẽ là một đa diện được hình thành bởi các điểm giao này và các điểm M, N, P, cùng với các điểm A, B, C, D hoặc một phần của nó tùy thuộc vào vị trí của mặt phẳng (MNP) so với tứ diện.

Để có được các tính toán cụ thể, ta cần thêm thông tin về các tọa độ cụ thể của các đỉnh của tứ diện ABCD hoặc các phương trình cụ thể để thực hiện các bước một cách chi tiết hơn.