Để tính giá trị của biểu thức \( A = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + x^2 + 2xy + y^2 \) với \( x = 10 - y \), ta sẽ thay \( x \) vào biểu thức.

1. **Thay thế:** Thay \( x \) vào biểu thức.
\[
A = (10 - y)^3 + 3(10 - y)^2y + 3(10 - y)y^2 + y^3 + (10 - y)^2 + 2(10 - y)y + y^2
\]

2. **Tính từng phần:**
- Tính \( (10 - y)^3 \):
\[
(10 - y)^3 = 1000 - 300y + 30y^2 - y^3
\]
- Tính \( 3(10 - y)^2y \):
\[
(10 - y)^2 = 100 - 20y + y^2 \Rightarrow 3(10 - y)^2y = 3(100y - 20y^2 + y^3) = 300y - 60y^2 + 3y^3
\]
- Tính \( 3(10 - y)y^2 \):
\[
3(10 - y)y^2 = 30y^2 - 3y^3
\]
- Tính \( (10 - y)^2 \) (đã tính ở trên):
\[
(10 - y)^2 = 100 - 20y + y^2
\]
- Tính \( 2(10 - y)y \):
\[
2(10 - y)y = 20y - 2y^2
\]

3. **Gộp tất cả các phần lại:**
- Tổng các hạng tử:
\[
A = (1000 - 300y + 30y^2 - y^3) + (300y - 60y^2 + 3y^3) + (30y^2 - 3y^3) + y^3 + (100 - 20y + y^2) + (20y - 2y^2) + y^2
\]

4. **Rút gọn:**
- Hạng tử hằng số:
\[
1000 + 100 = 1100
\]
- Hạng tử bậc 1 (về \( y \)):
\[
-300y + 300y - 20y + 20y = 0
\]
- Hạng tử bậc 2 (về \( y^2 \)):
\[
30y^2 - 60y^2 + 30y^2 - 2y^2 + y^2 = 0
\]
- Hạng tử bậc 3:
\[
-y^3 + 3y^3 - 3y^3 + y^3 = 0
\]

5. **Kết luận:**
\[
A = 1100
\]

Vậy giá trị của biểu thức là \( \boxed{1100} \).