Để chứng minh rằng \( p + q \) chia hết cho 12 cho các số nguyên tố \( p \) và \( q \) lớn hơn 3 mà thỏa mãn \( p - q = 2 \), trước tiên chúng ta đặt \( p = q + 2 \).

Vì \( p \) và \( q \) đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng phải là số lẻ. Các số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6k ± 1 (k là số nguyên), vì:

- Nếu một số nguyên tố lớn hơn 3 là số chẵn, thì nó chỉ có thể là 2, mà 2 không lớn hơn 3.
- Các số nguyên tố không phải là 2 cũng không thể chia hết cho 3.

Do đó, các số nguyên tố lớn hơn 3 rơi vào một trong hai dạng: \( 6k + 1 \) hoặc \( 6k - 1 \).

### Xét các trường hợp:
1. **Trường hợp 1**: \( q = 6k + 1 \)
- Khi đó, \( p = q + 2 = (6k + 1) + 2 = 6k + 3 \)
- Số \( 6k + 3 \) không phải là số nguyên tố (trừ khi \( k = 0 \), nhưng khi đó \( p = 3 \), không thỏa mãn điều kiện là lớn hơn 3). Vậy trường hợp này không hợp lệ.

2. **Trường hợp 2**: \( q = 6k - 1 \)
- Khi đó, \( p = q + 2 = (6k - 1) + 2 = 6k + 1 \)
- Số \( 6k + 1 \) có thể là số nguyên tố.

### Tính \( p + q \):
Tổng \( p + q = (6k + 1) + (6k - 1) = 12k \).

### Kết luận:
Bởi vì \( p + q = 12k \) là một bội số của 12 cho mọi số nguyên \( k \).

Do đó, kết luận là \( p + q \) chia hết cho 12.