Cho số thực x thỏa mãn 0 < x < 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \( A = \frac{4}{3 - x} + \frac{100}{x} + 2024; \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \frac{4}{3 - x} + \frac{100}{x} + 2024 \) trong khoảng \( 0 < x < 3 \), ta sẽ khảo sát hai thành phần chính là \( \frac{4}{3 - x} \) và \( \frac{100}{x} \).

### Bước 1: Tính đạo hàm

Đặt \( A(x) = \frac{4}{3 - x} + \frac{100}{x} + 2024 \).

Tính đạo hàm của \( A \):

\[
A'(x) = -\frac{4}{(3 - x)^2} - \frac{100}{x^2}
\]

### Bước 2: Tìm cực trị

Để tìm các giá trị cực trị, ta giải phương trình \( A'(x) = 0 \):

\[
-\frac{4}{(3 - x)^2} - \frac{100}{x^2} = 0
\]

Sắp xếp lại phương trình:

\[
\frac{4}{(3 - x)^2} = -\frac{100}{x^2}
\]

Phương trình này không có nghiệm thực vì bên trái luôn dương và bên phải luôn âm. Do đó, không có giá trị cực trị nội tại trong khoảng \( (0, 3) \).

### Bước 3: Tính giá trị tại biên

Do không có điểm cực trị, ta cần xét giá trị của \( A(x) \) gần biên:

- Khi \( x \to 0^+ \):
\[
A(x) \to +\infty
\]

- Khi \( x \to 3^- \):
\[
A(x) \to +\infty
\]

### Bước 4: Tìm giá trị tại các điểm trong khoảng (0, 3)

Ta có thể thử một số giá trị trong khoảng \( (0, 3) \):

- Tại \( x = 1 \):
\[
A(1) = \frac{4}{3 - 1} + \frac{100}{1} + 2024 = \frac{4}{2} + 100 + 2024 = 2 + 100 + 2024 = 2126
\]

- Tại \( x = 2 \):
\[
A(2) = \frac{4}{3 - 2} + \frac{100}{2} + 2024 = \frac{4}{1} + 50 + 2024 = 4 + 50 + 2024 = 2078
\]

### Bước 5: So sánh các giá trị

So sánh các giá trị:
- \( A(1) = 2126 \)
- \( A(2) = 2078 \)

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) trong khoảng \( (0, 3) \) là \( 2078 \) tại \( x = 2 \).

\[
\text{Giá trị nhỏ nhất của } A = 2078
\]