Để tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \( 2^x + 57 = y^2 \), trước hết ta có thể viết lại phương trình dưới dạng:

\[
y^2 - 2^x = 57
\]

Phương trình này có thể được coi là một phương trình phân tích giữa \( y^2 \) và \( 2^x \). Để tìm nghiệm nguyên dương (\( x, y > 0 \)), ta sẽ thử một số giá trị của \( x \) và xem kết quả có phải là một số chính phương hay không.

### Thử một số giá trị của \( x \):

1. **Khi \( x = 1 \)**:
\[
2^1 + 57 = 2 + 57 = 59 \quad (\text{số không phải là chính phương})
\]

2. **Khi \( x = 2 \)**:
\[
2^2 + 57 = 4 + 57 = 61 \quad (\text{số không phải là chính phương})
\]

3. **Khi \( x = 3 \)**:
\[
2^3 + 57 = 8 + 57 = 65 \quad (\text{số không phải là chính phương})
\]

4. **Khi \( x = 4 \)**:
\[
2^4 + 57 = 16 + 57 = 73 \quad (\text{số không phải là chính phương})
\]

5. **Khi \( x = 5 \)**:
\[
2^5 + 57 = 32 + 57 = 89 \quad (\text{số không phải là chính phương})
\]

6. **Khi \( x = 6 \)**:
\[
2^6 + 57 = 64 + 57 = 121 \quad (121 = 11^2, \text{ là chính phương})
\]
=> \( y = 11 \)

7. **Khi \( x = 7 \)**:
\[
2^7 + 57 = 128 + 57 = 185 \quad (\text{số không phải là chính phương})
\]

8. **Khi \( x = 8 \)**:
\[
2^8 + 57 = 256 + 57 = 313 \quad (\text{số không phải là chính phương})
\]

9. **Khi \( x = 9 \)**:
\[
2^9 + 57 = 512 + 57 = 569 \quad (\text{số không phải là chính phương})
\]

### Kết luận
Từ các thử nghiệm trên, ta chỉ tìm thấy một nghiệm nguyên dương của phương trình \( 2^x + 57 = y^2 \) là:

\[
(x, y) = (6, 11)
\]

Như vậy, nghiệm nguyên dương của phương trình là \( (6, 11) \).