Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB, HE vuông góc với AC. Chứng minh:

Để chứng minh hai phần a) và b) của bài toán, ta sẽ sử dụng các định nghĩa và tính chất của hình chữ nhật, góc và tam giác vuông.

### a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Chúng ta có các điểm A, D, E, H như sau:

- \( AH \) là đường cao từ A xuống BC.
- \( HD \) vuông góc với \( AB \).
- \( HE \) vuông góc với \( AC \).

Ta chứng minh ADHE là hình chữ nhật bằng cách chứng minh bốn cạnh của tứ giác ADHE:

1. **AD** và **HE**:
- \( AH \perp BC \) (định nghĩa đường cao).
- Do đó, \( AH \) là một đường thẳng vuông góc với BC.
- Vì \( HD \perp AB \) và \( HE \perp AC \) nên \( D \) và \( E \) đều nằm trên những đường thẳng vuông góc với AB và AC tương ứng.
- Suy ra, \( AH \) cũng vuông góc với cả **AD** (vì \( AD \) nối \( A \) và \( D \)) và **HE** (bởi vì \( HE \) vuông góc với \( AC \)), nên \( AD \perp HE \).

2. **AH** chứa **DH** và **EH**:
- Đảo lại, vì AD vuông góc với HE, và HE cũng vuông góc với AH nên AD // HE.
- Tương tự, **AH** cũng vuông góc với **DE**, điều này cũng chứng minh rằng AH // DE.

Kết luận: Tứ giác ADHE có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. Do đó, tứ giác ADHE là một hình chữ nhật.

### b) Chứng minh góc ADE = góc C

Trong tam giác vuông ABC, với \( \angle A = 90^\circ \), ta có:

- Góc C là góc ở đỉnh C của tam giác ABC.
- Vì tứ giác ADHE là hình chữ nhật, tam giác ADE có góc A = 90°.

Vì \( \angle ADE = 90^\circ - \angle C \) theo định nghĩa của góc phụ (cùng với góc C và tổng cân bằng trong tam giác), chúng ta có thể kết luận:

\[
\angle ADE = \angle C.
\]

Do đó, \( \angle ADE = \angle C \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và góc ADE bằng góc C.