Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH. Gọi M, N, D lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ tiến hành từng bước.

### a) Chứng minh ND là đường trung trực của AH.

1. **Xác định hệ tọa độ**:
Giả sử điểm A nằm tại tọa độ (0, h), điểm B nằm tại (b1, 0), và điểm C nằm tại (b2, 0) với \( b_1 < b_2 \) để thỏa mãn điều kiện \( AB < AC \). Đường cao AH có thể được coi là đường thẳng đi từ A vuông góc với BC.

2. **Tính tọa độ trung điểm**:
Tọa độ trung điểm D của AB là:
\[
D\left(\frac{0 + b_1}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = \left(\frac{b_1}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]
Tọa độ trung điểm N của AC là:
\[
N\left(\frac{0 + b_2}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = \left(\frac{b_2}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]
Tọa độ trung điểm M của BC là:
\[
M\left(\frac{b_1 + b_2}{2}, 0\right)
\]

3. **Tính độ dốc của AH**:
Đường AH có độ dốc là:
\[
\text{Độ dốc của AH} = \frac{0 - h}{b - 0} = -\frac{h}{b}
\]
Trong đó b là khoảng cách theo trục x từ các điểm B đến C.

4. **Tính độ dốc của ND**:
Độ dốc của đoạn thẳng ND là:
\[
\text{Độ dốc của ND} = \frac{\frac{h}{2} - \frac{h}{2}}{\frac{b_2}{2} - \frac{b_1}{2}} = 0
\]
Đoạn thẳng này là một đường ngang, cho thấy rằng đoạn thẳng ND vuông góc với AH tại H (điểm mà đường cao AH cắt BC).

Vì vậy, ND là đường trung trực của đoạn AH, chứng minh điều cần chứng minh.

### b) Chứng minh tứ giác MNDH là hình thang cân.

Một tứ giác được coi là hình thang cân nếu có hai cạnh đối diện song song và hai cạnh bên thẳng đều bằng nhau.

1. **Chứng minh M và N là ở cùng một độ cao**:
Cả điểm M (trung điểm của BC) và điểm N (trung điểm của AC) đều nằm trên đường thẳng y = h/2, trong khi D (trung điểm của AB) nằm trên đường thẳng y = h/2. Nghĩa là, hai đoạn MN và DH cũng đồng mức.

2. **Chứng minh độ dài của MN và DH**:
Tính độ dài của các cạnh này, ta thấy rằng cả MN và DH đều bằng nhau, do chúng đều là đoạn nối giữa hai trung điểm trên cùng một độ cao. Hơn nữa, vì M và N đều nằm trên DC, với D nằm ở giữa đoạn thẳng nối hai điểm trung điểm, nên tứ giác MNDH là hình thang cân.

Qua quá trình phân tích và tính toán, ta đã chứng minh rằng tứ giác MNDH là hình thang cân.

Vì vậy, ta đã hoàn thành đáp án cho cả hai bài toán.