Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P=5-x/x^2 có giá trị nguyên

Để tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức \( P = \frac{5 - x}{x^2} \) có giá trị nguyên, ta cần điều kiện là tử số \( 5 - x \) phải chia hết cho mẫu số \( x^2 \).

Ta có thể viết lại biểu thức:

\[
P = \frac{5 - x}{x^2} = \frac{5}{x^2} - \frac{1}{x}
\]

Muốn \( P \) là số nguyên, cả hai thành phần \( \frac{5}{x^2} \) và \( \frac{1}{x} \) cũng cần là số nguyên.

Giá trị của \( x \) không được bằng 0 (vì chúng ta không thể chia cho 0).

Bây giờ chúng ta sẽ phân tích từng thành phần:

1. **Xét \( \frac{1}{x} \):** Để \( \frac{1}{x} \) là số nguyên, \( x \) phải là 1, -1 hoặc các số nguyên dương và âm khác mà chia cho 1 thì trả về số nguyên (tức là 1 và -1 là các số nguyên mà \( \frac{1}{x} \) cho ra trong).

2. **Đặt điều kiện \( x^2 \) chia hết cho \( 5-x \):**
Chúng ta cần \( 5 - x = kx^2 \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

Giải phương trình:

\[
5 = x^2 k + x
\]

Biểu thức này rút gọn lại là một phương trình bậc 2 với \( k \) là một hằng số. Từ đó \( x^2 k + x - 5 = 0 \).

Sử dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc 2, điều kiện để có nghiệm là:

\[
\Delta = 1 + 20k \geq 0 \Rightarrow k \geq -\frac{1}{20}
\]

Nhưng \( k \) là số nguyên nên \( k \geq 0 \).

Bây giờ ta xét từng giá trị của \( k \):

1. **Nếu \( k = 0 \):**
\[
5 = x \Rightarrow x = 5
\]

2. **Nếu \( k = 1 \):**
\[
x^2 + x - 5 = 0
\]
\(\Delta = 1 + 20 = 21\) (có hai nghiệm nhưng không phải là số nguyên).

3. **Nếu \( k = 2 \):**
\[
2x^2 + x - 5 = 0
\]
\(\Delta = 1 + 40 = 41\) (có hai nghiệm nhưng không phải số nguyên).

4. **Nếu \( k = -1 \):**
\[
-x^2 + x - 5 = 0 \Rightarrow x^2 - x + 5 = 0
\]
(có hai nghiệm nhưng không phải số nguyên).

5. Kiểm tra các số nguyên \( x = -2, -1, 1, 2, 3\) , và nhận thấy không có nghiệm nào có giá trị nguyên.

Cuối cùng, kết luận rằng các giá trị nguyên của \( x \) mà \( P = \frac{5 - x}{x^2} \) là số nguyên bao gồm nghiệm chính:

\[
\boxed{5}
\]

Xem xét các trường hợp, và không tìm thấy nghiệm nào có thể trở thành số nguyên trừ cho giá trị \{ 5 \}.