Cho tứ diện ABCD có đáy là tam giác BCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD

Để giải bài toán này, ta cần xác định các mặt phẳng và các giao tuyến theo từng phần a), b) và c).

### a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \( (BMN) \) và \( (ABD) \)

1. **Xác định các mặt phẳng**:
- **Mặt phẳng \( (ABD) \)**: Định nghĩa bởi ba điểm \( A, B, D \).
- **Mặt phẳng \( (BMN) \)**: Định nghĩa bởi ba điểm \( B, M, N \), với \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( N \) là trung điểm của \( CD \).

2. **Giao tuyến**:
Giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ là đoạn thẳng đi qua điểm \( B \), vì \( B \) nằm trong cả hai mặt phẳng. Để xác định giao tuyến chính xác, ta cần xét các điểm \( M \) và \( N \):
- \( M \) và \( N \) nằm trong mặt phẳng \( (BMN) \) và vì vậy, giao tuyến sẽ là đoạn thẳng \( BN \).

### b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \( (MBD) \) và \( (ABN) \)

1. **Xác định các mặt phẳng**:
- **Mặt phẳng \( (MBD) \)**: Định nghĩa bởi ba điểm \( M, B, D \).
- **Mặt phẳng \( (ABN) \)**: Định nghĩa bởi ba điểm \( A, B, N \).

2. **Giao tuyến**:
Giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ là đoạn thẳng đi qua điểm \( B \). Để xác định giao tuyến, ta cần xem xét thêm điểm \( M \) và điểm \( N \):
- Giao tuyến này cũng sẽ có dạng đoạn thẳng \( BN \), tức là \( BN \) là giao tuyến của mặt phẳng \( (MBD) \) và mặt phẳng \( (ABN) \).

### c) Xác định giao điểm của \( AB \) và mặt phẳng \( (MNK) \)

1. **Điểm \( K \)**: Lấy điểm \( K \) trên đoạn \( BD \) sao cho \( KB < KD \).
2. **Mặt phẳng \( (MNK) \)**: Được định nghĩa bởi ba điểm \( M, N, K \).
3. **Tìm giao điểm**:
Để tìm giao điểm của đường thẳng \( AB \) và mặt phẳng \( (MNK) \), ta cần lập phương trình cho đường thẳng \( AB \) và phương trình mặt phẳng \( (MNK) \):
- Giả sử tọa độ \( A, B, C, D \) là các điểm trong không gian.
- Gọi tọa độ \( A(a_1, a_2, a_3) \), \( B(b_1, b_2, b_3) \), ...
- Viết phương trình đường thẳng \( AB \) theo tỉ lệ tham số \( t \):
\[
P(t) = A + t(B - A)
\]

- Viết phương trình mặt phẳng \( (MNK) \) dùng điểm và véc-tơ pháp tuyến.

4. **Giải**:
Giải phương trình của mặt phẳng với phương trình trung gian của đường thẳng \( P(t) \). Từ đó, ta tìm được giá trị \( t \) và giao điểm \( P(t) \).

### Kết luận
Bài toán yêu cầu ta xác định giao tuyến và giao điểm trong tứ diện, dựa vào các mặt phẳng được thành lập từ các điểm cho trước. Giao tuyến và giao điểm có thể được phân tích một cách hệ thống với tọa độ và phương trình hình học trong không gian.