Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các phần như sau:

### a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

**Giả thiết:** \(HE \perp AB\) và \(HF \perp AC\).

**Chứng minh:**
- \(HE \perp AB\) nghĩa là \(EH\) vuông góc với \(AB\).
- \(HF \perp AC\) nghĩa là \(HF\) vuông góc với \(AC\).

Vì \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống cạnh \(BC\) nên góc \(AHE\) và góc \(AHF\) đều là góc vuông.

Vậy tứ giác \(AEHF\) có hai cặp cạnh đối diện vuông góc và bằng nhau, từ đó suy ra \(AEHF\) là hình chữ nhật.

### b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HC\); \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M\). Chứng minh tứ giác \(ACDH\) là hình bình hành.

**Chứng minh:**
- \(M\) là trung điểm của \(HC\) nên \(HM = MC\).
- \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M\) nên \(AM = MD\).

Do đó, có:
- \(AH \parallel CD\) và \(AC \parallel DH\) (vì tứ giác \(ACDH\) có hai cặp cạnh đối diện song song).

=> Tứ giác \(ACDH\) là hình bình hành.

### c) Chứng minh tứ giác \(EFCD\) là hình thang cân.

**Chứng minh:**
- Tứ giác \(EFCD\) có \(EF\) là cạnh đối diện với \(CD\).
- \(E\) và \(F\) nằm trên các đường vuông góc với \(AB\) và \(AC\), điều này cho thấy \(EF \perp AD\).

=> Tứ giác \(EFCD\) là hình thang và có \(EF = CD\) (cạnh đáy song song).

### d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(CO\); \(K\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(C\). Chứng minh rằng hai điểm \(I\) và \(K\) thẳng hàng.

**Chứng minh:**
Để chứng minh \(I\) và \(K\) thẳng hàng, ta cần chỉ ra rằng \(C\) nằm trên đường thẳng đi qua \(I\) và \(K\).

Áp dụng định lý về tọa độ hình học, ta có thể cho đường thẳng qua \(I\) đi qua \(C\) và điểm đối xứng \(D\) qua \(C\) là \(K\).

### e) Biết \(AB = 3 \text{ cm}, AC = 4 \text{ cm}\). Tính \(MN\).

Tính \(MN\) theo phương pháp Pythagore:
- \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \text{ cm}\).
- \(M\) và \(N\) là các điểm thuộc các đoạn thẳng trên, cần xác định tỉ lệ giữa các cạnh liên quan để tính.

Cuối cùng, sử dụng các thông tin trên để tính toán giá trị cụ thể của \(MN\) bằng cách áp dụng các định lý trong tam giác vuông và hình bình hành.

Nếu có thông tin cụ thể hơn về vị trí và tính chất của \(M\) và \(N\) trong bài toán, hãy cung cấp để có thể tính toán chính xác hơn.