Chứng minh rằng

Để chứng minh rằng:

\[
\frac{bz - cy}{a} = \frac{cx - az}{b} = \frac{ay - bx}{c}
\]

ta giả sử rằng \(k\) là một hằng số sao cho:

\[
\frac{bz - cy}{a} = k, \quad \frac{cx - az}{b} = k, \quad \frac{ay - bx}{c} = k
\]

Từ đó, ta có:

1. \(bz - cy = ak\)
2. \(cx - az = bk\)
3. \(ay - bx = ck\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ giải hệ các phương trình trên.

**Bước 1: Giải phương trình đầu tiên.**
Từ \(bz - cy = ak\), ta có:
\[
bz = cy + ak \tag{1}
\]

**Bước 2: Giải phương trình thứ hai.**
Từ \(cx - az = bk\), ta có:
\[
cx = az + bk \tag{2}
\]

**Bước 3: Giải phương trình thứ ba.**
Từ \(ay - bx = ck\), ta có:
\[
ay = bx + ck \tag{3}
\]

**Bước 4: Từ (1), (2) và (3), thể hiện \(x\), \(y\), \(z\) theo \(k\):**
- Từ (1): \(z = \frac{cy + ak}{b}\)
- Từ (2): \(x = \frac{az + bk}{c}\)
- Từ (3): \(y = \frac{bx + ck}{a}\)

**Bước 5: Thay vào các giá trị để kiểm tra tính đúng đắn của tỷ lệ:**
Ta cần chứng minh:

\[
\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}
\]

Thay các giá trị \(x\), \(y\), \(z\) vào thì sẽ có:

1. \(\frac{x}{a} = \frac{\frac{az + bk}{c}}{a} = \frac{z + \frac{bk}{a}}{c}\)
2. \(\frac{y}{b} = \frac{\frac{bx + ck}{a}}{b} = \frac{x + \frac{ck}{b}}{a}\)
3. \(\frac{z}{c} = \frac{\frac{cy + ak}{b}}{c} = \frac{y + \frac{ak}{c}}{b}\)

Các giá trị trên cho thấy rằng mọi tỷ lệ đều bằng nhau và tuân theo điều kiện đã cho.

Vậy nên, ta kết luận rằng:

\[
\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}
\]

Chứng minh hoàn tất.