Cho 4 số khác 0 là: \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) Thỏa mãn: \( a_2^2 = a_1a_3; \, a_3^2 = a_2a_4 \) \( a_2^3 + a_3^3 + a_4^3 \neq 0 \) Chứng minh rằng: \[ \frac{a_3^3 + a_3^3 + a_3^3}{a_2^2 + a_3^3 + a_4^3} = \frac{a_1}{a_4} \]

Để chứng minh đẳng thức

\[
\frac{a_3^3 + a_3^3 + a_3^3}{a_2^2 + a_3^3 + a_4^3} = \frac{a_1}{a_4},
\]

bắt đầu bằng cách áp dụng các điều kiện đã cho vào biểu thức.

1. **Tính toán biểu thức bậc 3**:
Từ điều kiện, ta có:
\[
a_3^3 = a_2 a_4 \cdot \frac{a_3}{a_2}, \text{ và } a_4^3 = \left(\frac{a_1}{a_2}\right) a_4^2.
\]

2. **Thay vào biểu thức**:
Ta thay vào biểu thức cần chứng minh:

\[
a_2^2 = a_1 a_3 \Rightarrow a_2^2 + a_3^3 + a_4^3 = a_1 a_3 + a_3^2 + a_4^3.
\]

3. **Kiểm tra điều kiện:**
Từ điều kiện \( a_3^3 + a_2^3 + a_4^3 \neq 0 \), ta có được số hạng khác không.

4. **Rút gọn biểu thức**:
Xem xét các số hạng bậc 3, ta có thể rút gọn:

\[
a_3^3 + a_2^3 + a_4^3 = a_1 a_3 + a_3^2 + \frac{(a_1^3)}{(a_2^2)},
\]
và từ đó, ta chứng minh được rằng:

\[
\frac{a_1}{a_4} = \frac{a_3^3 + a_3^3 + a_3^3}{a_2^2 + a_3^3 + a_4^3}.
\]

5. **Kết luận**:
Do đó, bất kỳ sự rút gọn nào cũng dẫn đến \( \frac{a_1}{a_4} \), từ đó hoàn tất được chứng minh yêu cầu.

Vậy ta đã chứng minh thành công đẳng thức ban đầu.