Để giải bài toán tìm \( n \) cho điều kiện \( 5n - 18 \) chia hết cho \( n - 35n - 18 \) chia hết cho \( n - 3 \), chúng ta sẽ viết lại các biểu thức và phân tích.

Ta có:

1. \( 5n - 18 \)
2. \( n - 35n - 18 = -34n - 18 \)
3. \( n - 3 \)

Chúng ta sẽ tìm điều kiện chia hết cho từng trường hợp:

### Bước 1: Tìm \( n \) để \( 5n - 18 \equiv 0 \mod (n - 3) \)

Tức là \( 5n - 18 \) phải chia hết cho \( n - 3 \).

Ta có:

\[
5n - 18 \equiv 0 \mod (n - 3)
\]

Thay \( n = k + 3 \) để tính tiếp:

\[
5(k + 3) - 18 \equiv 0 \mod (k)
\]

\[
5k + 15 - 18 \equiv 0 \\
5k - 3 \equiv 0 \mod (k)
\]

Điều này có thể viết lại là \( 5k \equiv 3 \mod (k) \). Điều này có nghĩa là \( k \) có thể bất kỳ (k không khác 0), nhưng điều quan trọng là thuộc tính chia hết.

### Bước 2: Xem xét điều kiện tiếp theo là \( -34n - 18 \equiv 0 \mod (n - 3) \)

Chúng ta kiểm tra điều kiện cho \( -34n - 18 \equiv 0 \) với \( n = k + 3 \):

\[
-34(k + 3) - 18 \equiv 0 \mod (k) \\
-34k - 102 - 18 \equiv 0 \\
-34k - 120 \equiv 0 \mod (k) \\
34k \equiv -120 \mod (k)
\]

Điều này có nghĩa là chúng ta cần loại bỏ được điều khoản trong trường hợp này cũng như chia được cho \( k \).

### Kết luận
Hai bất đẳng thức trên dẫn tới thiết việc \( n \) là nhiều hơn ba, nên biểu thức này có thể cho \( n \) cụ thể.

Thay vì đi vào chi tiết phương trình bậc nhất, ta có thể trực tiếp thử một vài giá trị cho \( n \) để kiểm tra thử nghiệm.

### Thử nghiệm cụ thể cho n
Chịu khó thử các số nguyên cho \( n \) từ dương tới bằng 3, rẽ sang kiểm tra:

- \( n = 4 \)
- \( n = 5 \)
- \( n = 6 \)...

Liệu hơn có thể, nhưng đơn giản nhất các bạn có thể chọn \( n = 3k \) hoặc những số tự nhiên cận kề.

Do đó kết quả là bạn sẽ có một tập số để lựa chọn điều kiện "chia hết" và đến với đáp án là các giá trị thêm điều kiện biểu thức chia hết riêng.

***Và ví dụ n = 3 là giá trị thỏa mãng đầy đủ điều kiện đối với trò chơi này.***

Vậy \( n = 3 \) là một đáp án.