Để chứng minh biểu thức \( x^2 + y^2 - 8x + 4y + 27 \) là dương với mọi giá trị của \( x \) và \( y \), ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1: Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \).

\[
x^2 - 8x + y^2 + 4y + 27
\]

Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \).

**Với hạng tử \( x^2 - 8x \)**:

\[
x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16
\]

**Với hạng tử \( y^2 + 4y \)**:

\[
y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4
\]

Bây giờ ta thay thế các biểu thức này vào biểu thức ban đầu:

\[
(x - 4)^2 - 16 + (y + 2)^2 - 4 + 27
\]

Bước 3: Đơn giản hóa biểu thức.

\[
(x - 4)^2 + (y + 2)^2 - 16 - 4 + 27 = (x - 4)^2 + (y + 2)^2 + 7
\]

Bước 4: Phân tích kết quả.

Biểu thức \( (x - 4)^2 + (y + 2)^2 + 7 \) luôn dương vì:

- \( (x - 4)^2 \geq 0 \) (bình phương không âm),
- \( (y + 2)^2 \geq 0 \) (bình phương không âm),
- Vậy \( (x - 4)^2 + (y + 2)^2 \geq 0 \).

Do đó, \( (x - 4)^2 + (y + 2)^2 + 7 \geq 0 + 7 = 7 \).

Vậy có thể kết luận rằng:

\[
x^2 + y^2 - 8x + 4y + 27 > 0
\]

vì biểu thức này luôn lớn hơn hoặc bằng 7 với mọi giá trị của \( x \) và \( y \). Do đó, biểu thức đã được chứng minh là dương cho mọi giá trị của \( x \) và \( y \).