Để chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng các tính chất về góc vuông và các đoạn thẳng trong tam giác vuông.

### a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật

1. **Xác định các góc:**
- Do AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A, ta có \( \angle AHB = 90^\circ \).
- HE vuông góc với AB tại E, nên \( \angle AHE = 90^\circ \).
- HF vuông góc với AC tại F, nên \( \angle AHF = 90^\circ \).

2. **Tính chất của tứ giác:**
- Tứ giác AEHF sẽ là hình chữ nhật nếu như có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc với nhau.
- Ta biết rằng \( AE \) vuông góc với \( HE \) và \( AH \) vuông góc với \( HF \).

3. **Chứng minh:**
- Từ các góc ở trên, ta có:
\[
\angle AHE + \angle AHF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
- Tương tự, từ \( E \) đến \( F \) qua \( H \), ta có \( AE \parallel HF \) và \( HE \parallel AF \).

4. **Kết luận:**
- Vì có 4 góc vuông tại E và F nên tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác EFMH là hình bình hành

Giả sử F là trung điểm của AM, cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác EFMH bằng nhau.

1. **Xác định chiều dài các đoạn:**
- Vì F là trung điểm của AM, ta có:
\[
AF = FM
\]
- Cần chứng minh EF và HM cũng có cùng chiều dài.

2. **Tính chất tiết diện:**
- Do EC với AB và FC với AC vuông góc, góc EHF mà ta đã tìm thấy cũng vuông góc với các cạnh EF và HM.
- Bằng định lý Pythagore trong tam giác vuông AEF và EMF ta nhận thấy các góc và cạnh tương đối giữa chúng:

3. **Kết luận:**
- EFMH đảm bảo hai cặp cạnh đối diện bằng nhau \( EF = MH \) và \( EM = FH \), từ đó kết luận EFMH là hình bình hành.

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai kết luận cho bài toán.