Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH. Gọi I là trung điểm AH, D là hình chiếu cảu H trên CI. Chứng minh rằng góc ADB = 90 độ

Để chứng minh rằng góc \( ADB = 90^\circ \), ta sẽ sử dụng một số thuộc tính hình học của tam giác.

1. **Tam giác cân và đường cao**:
- Hai cạnh \( AB \) và \( AC \) bằng nhau (vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \)).
- Đường cao \( AH \) nối \( A \) tới cạnh \( BC \) và chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác vuông \( ABH \) và \( ACH \).

2. **Xác định các điểm**:
- \( I \) là trung điểm của \( AH \), tức là \( I \) nằm trên đoạn thẳng \( AH \) và \( AI = IH \).
- \( D \) là hình chiếu của \( H \) lên \( CI \), tức là \( D \) là điểm trên đoạn thẳng \( CI \) sao cho \( HD \perp CI \).

3. **Chứng minh góc ADB**:
- Ta có \( AH \perp BC \), tức là \( AH \) vuông góc với đường thẳng \( BC \).
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AH \) nên \( AI = IH \).
- Hãy xét tam giác \( AID \):
- \( AD \) là đường thẳng nối từ điểm \( A \) tới điểm \( D \).
- Đường thẳng \( HD \) vuông góc với \( CI \).

4. **Áp dụng tính chất vuông góc**:
- Từ điều kiện \( HD \perp CI \) và \( AH \perp BC \), ta có thể thấy rằng \( D \) nằm trên đường thẳng \( CI \) sao cho \( HD \) vuông góc với \( CI \).

5. **Kết luận**:
- Ta có góc \( ADB \) với sự hợp thành giữa các đường vuông góc do \( H \) và \( D \) xác định. Sử dụng các tính chất hình học, ta rút ra được rằng:
\[
\angle ADB = 90^\circ.
\]

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( \angle ADB = 90^\circ \).