Để chứng minh bài toán, ta sẽ sử dụng định nghĩa và tính chất của hình bình hành.

### a) Chứng minh rằng hai tứ giác ACPM và ABPN là những hình bình hành:

1. **Tứ giác ACPM:**
- Ta có ABNM là hình bình hành, do đó \(AB \parallel NM\) và \(AN \parallel BM\).
- Điểm B là trung điểm của AC (giả sử M thuộc AC).
- Vậy \(AP \parallel CM\) (bởi vì AB \parallel NM), và \(AC = CM\) (vì B là trung điểm của AC).
- Do đó, tứ giác ACPM là hình bình hành.

2. **Tứ giác ABPN:**
- Tương tự, chúng ta có điểm B là trung điểm của AC, tức là \(AP \parallel BN\) và \(AB = PN\) (vì AB là cạnh đối diện của hình bình hành ABNM).
- Do đó, tứ giác ABPN cũng là hình bình hành.

### b) Chứng minh rằng các trung điểm của ba đoạn thẳng AP, MC, BN trùng nhau:

- Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng AP, \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng MC, và \(F\) là trung điểm của đoạn thẳng BN.
- Ta đã biết B là trung điểm của AC và P được lấy sao cho B là trung điểm của AC.
- Do đó, điểm D và F đều nằm cùng một trung điểm tương ứng của đoạn thẳng AB và NM do sự đối xứng giữa các điểm.
- Vậy \(D = E = F\), tức là các trung điểm của ba đoạn thẳng AP, MC, BN trùng nhau.

Vậy, kết luận rằng cả hai phần a và b đều được chứng minh.