Để giải bài toán trên, ta tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh rằng \( DMNB \) là hình bình hành.

1. Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \).
2. Theo tính chất của hình bình hành, ta cần chứng minh rằng \( DM \) song song với \( BN \) và \( DB = MN \).
3. Do \( AB \) song song với \( CD \) và \( AB = 2AD \), nên chiều dài \( \vec{AB} \) lớn gấp đôi chiều dài \( \vec{AD} \), suy ra \( DM \parallel BN \).
4. Do \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), nên \( MN = \frac{1}{2} AB \) và \( MN = DC \).
5. Từ đó suy ra \( DMNB \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh rằng \( AN \) là tia phân giác của góc \( DAB \).

1. Xét tam giác \( DAB \), ta thấy rằng \( N \) là trung điểm của \( CD \).
2. Do \( AB \parallel CD \) và \( AD \) cắt \( AB, CD \) tại \( A \) và \( D \), ta có \( AN \) là tia phân giác của góc \( DAB \) vì nó chia góc \( DAB \) thành hai phần bằng nhau.

### c) Gọi giao điểm của \( AN \) với \( DM \) là \( P \), \( CM \) với \( BN \) là \( Q \). Tìm điều kiện của hình bình hành \( ABCD \) để tứ giác \( PMQN \) là hình vuông.

1. Để tứ giác \( PMQN \) là hình vuông, ta cần chứng minh rằng các cạnh \( PM \), \( MQ \), \( QN \), \( NP \) đều bằng nhau và các góc giữa các cạnh là \( 90^\circ \).
2. Chúng ta cần một số điều kiện cần thiết cho góc \( APN = 90^\circ \) và chiều dài các cạnh được xác định.
3. Các cạnh \( PM \) và \( NQ \) phải dài bằng nhau, tức là chiều dài phải được xác định từ các đoạn thẳng trên tứ giác và thỏa mãn hệ thức của hình vuông.

Nếu chiều dài các đoạn thẳng và góc được xác định thỏa mãn điều kiện trên, thì tứ giác \( PMQN \) sẽ là hình vuông.

### Kết luận:

Ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Nếu có thêm yêu cầu cụ thể hơn, hãy cho tôi biết để có thể hỗ trợ tốt hơn!