Để giải bài toán hình học này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a) Chứng minh rằng ba điểm C, A, M thẳng hàng:**

1. **Gọi các góc:**
- Ta có tam giác ABC cân tại A với \(\angle BAC = 108^\circ\).
- Do đó, \( \angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ \).

2. **Xác định các góc:**
- Gọi \( \angle CBO = 12^\circ \), từ đó suy ra \( \angle ABC + \angle CBO = 36^\circ + 12^\circ = 48^\circ\).
- Khi đó, \( \angle OBC = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ \).

3. **Tam giác đều BOM:**
- Với tam giác đều BOM, ta có \( \angle OMB = 60^\circ \).
- Vậy \( \angle AMC = \angle OMB + \angle OBC = 60^\circ + 132^\circ = 192^\circ \).

4. **Kết luận:**
- Vì \( \angle AMC = 192^\circ\) nên \( M\) nằm trên đường thẳng của \( C\) và \( A\) vì \( M\) cùng phía với \( A\) so với đường thẳng \( BO\). Do đó, \( C, A, M\) thẳng hàng.

**b) Chứng minh rằng tam giác AOB cân:**

1. **Tính các góc:**
- Ta đã có \( \angle BAC = 108^\circ\), và từ tam giác \( OBC\), ta có:
\[
\angle AOB = \angle AOC + \angle COB
\]
- Với \( \angle CBO = 12^\circ\), ta tính:
\[
\angle AOB = 108^\circ + 12^\circ = 120^\circ
\]

2. **Sử dụng phương pháp đối xứng:**
- Gọi \( D\) là hình chiếu của điểm \( O\) trên cạnh \( AC\).
- Ta xét hình thang \( OACD\) với \( OC = OD\).
- Do \( OA = OB\) và \( AD = CD\), từ đó suy ra \( OA = OB\).
- Điều này chứng tỏ rằng tam giác \( AOB\) là tam giác cân.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng ba điểm \( C, A, M\) thẳng hàng, và tam giác \( AOB\) là tam giác cân.