Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thoả mãn phương trình

\[
2xy + x + y + 4 = 0
\]

chúng ta có thể viết lại phương trình dưới dạng dễ xử lý hơn:

\[
2xy + x + y = -4
\]

Ta nhóm lại:

\[
2xy + x + y + 4 = (2x + 1)(y + 4) - 8 = 0
\]

Từ phương trình đã nhóm, ta có thể giải phương trình theo một trong hai biến. Ở đây, ta có thể giải theo \( y \):

\[
2xy + y = -x - 4
\]

\[
y(2x + 1) = -x - 4
\]

Từ đó:

\[
y = \frac{-x - 4}{2x + 1}
\]

Để \( y \) là một số nguyên, thì \( -x - 4 \) phải chia hết cho \( 2x + 1 \). Ta có thể thử một số giá trị nguyên cho \( x \) và tìm giá trị tương ứng của \( y \).

1. Thử với \( x = -3 \):
\[
y = \frac{-(-3) - 4}{2(-3) + 1} = \frac{3 - 4}{-6 + 1} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} \quad \text{(không nguyên)}
\]

2. Thử với \( x = -2 \):
\[
y = \frac{-(-2) - 4}{2(-2) + 1} = \frac{2 - 4}{-4 + 1} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} \quad \text{(không nguyên)}
\]

3. Thử với \( x = -1 \):
\[
y = \frac{-(-1) - 4}{2(-1) + 1} = \frac{1 - 4}{-2 + 1} = \frac{-3}{-1} = 3 \quad \Rightarrow (-1, 3)
\]

4. Thử với \( x = 0 \):
\[
y = \frac{0 - 4}{0 + 1} = -4 \quad \Rightarrow (0, -4)
\]

5. Thử với \( x = 1 \):
\[
y = \frac{-1 - 4}{2(1) + 1} = \frac{-5}{3} \quad \text{(không nguyên)}
\]

6. Thử với \( x = 2 \):
\[
y = \frac{-2 - 4}{2(2) + 1} = \frac{-6}{5} \quad \text{(không nguyên)}
\]

7. Thử với \( x = 3 \):
\[
y = \frac{-3 - 4}{2(3) + 1} = \frac{-7}{7} = -1 \quad \Rightarrow (3, -1)
\]

Từ các tính toán trên, ta thu được các cặp số nguyên thoả mãn phương trình:

- \( (x, y) = (-1, 3) \)
- \( (x, y) = (0, -4) \)
- \( (x, y) = (3, -1) \)

Có thể kiểm tra từng cặp này bằng cách thay vào phương trình ban đầu. Do đó, các số nguyên \( x, y \) thoả mãn phương trình là:

\[
(x, y) = (-1, 3), (0, -4), (3, -1)
\]