Vẽ nửa (O;R), R=1m, hỏi ta có thể cắt hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Để tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật (HCN) có thể cắt trong nửa hình tròn (O; R) với bán kính \( R = 1m \), ta sẽ sử dụng các nguyên lý hình học.

Nửa hình tròn có bán kính 1m có thể được mô tả bằng phương trình:

\[
x^2 + y^2 = 1 \quad (y \geq 0)
\]

Giả sử hình chữ nhật có chiều dài là \( 2x \) (tính từ -x đến x) và chiều rộng là \( y \). Diện tích của hình chữ nhật sẽ là:

\[
A = 2x \cdot y
\]

Để mô tả \( y \) theo \( x \), từ phương trình nửa hình tròn, ta có:

\[
y = \sqrt{1 - x^2}
\]

Vậy diện tích \( A \) của hình chữ nhật trở thành:

\[
A = 2x \cdot \sqrt{1 - x^2}
\]

Để tìm giá trị \( x \) tối ưu cho diện tích lớn nhất, ta lấy đạo hàm của \( A \) theo \( x \) và đặt nó bằng 0:

\[
A' = 2\sqrt{1 - x^2} + 2x \cdot \left( \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} \right)
\]

Sau khi đơn giản hóa, ta có:

\[
A' = \frac{2(1 - 2x^2)}{\sqrt{1 - x^2}}
\]

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:

\[
1 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Sau đó, chúng ta thay giá trị \( x \) vào công thức \( y \):

\[
y = \sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Từ đó, ta tính diện tích:

\[
A = 2x \cdot y = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1
\]

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể cắt trong nửa hình tròn (O; R) với \( R = 1m \) là \( 1 \, m^2 \).