Tứ giác lồi ABCD. Tìm quý tích M: \( |\overline{MA} + 3\overline{MB}| = |3\overline{MC} + \overline{MD}| \)

Để tìm quý tích \( M \) trong tứ giác lồi \( ABCD \) với điều kiện

\[
|\overline{MA} + 3\overline{MB}| = |3\overline{MC} + \overline{MD}|,
\]

ta sẽ sử dụng các hệ số và đặc tính hình học.

1. **Xác định các vectơ**:
- Gọi các điểm \( A, B, C, D \) lần lượt có tọa độ \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), D(x_4, y_4) \).
- Điểm \( M \) sẽ có tọa độ \( M(x, y) \).

2. **Biểu diễn các vectơ**:
- \( \overline{MA} = (x_1 - x, y_1 - y) \)
- \( \overline{MB} = (x_2 - x, y_2 - y) \)
- \( \overline{MC} = (x_3 - x, y_3 - y) \)
- \( \overline{MD} = (x_4 - x, y_4 - y) \)

3. **Thiết lập các phương trình**:
Áp dụng điều kiện đã cho vào biểu thức cho \( |\overline{MA} + 3\overline{MB}| \) và \( |3\overline{MC} + \overline{MD}| \):

\[
|\overline{MA} + 3\overline{MB}| = |(x_1 - x + 3(x_2 - x), y_1 - y + 3(y_2 - y))|
\]

\[
= |(x_1 + 3x_2 - 4x, y_1 + 3y_2 - 4y)|
\]

Tương tự cho bên phải:

\[
|3\overline{MC} + \overline{MD}| = |(3(x_3 - x) + (x_4 - x), 3(y_3 - y) + (y_4 - y))|
\]

\[
= |(3x_3 + x_4 - 4x, 3y_3 + y_4 - 4y)|
\]

4. **Xét giá trị tuyệt đối**:
Hai vectơ này sẽ dẫn đến một hệ phương trình cho giá trị tuyệt đối để tìm điểm \( M \).

5. **Giải phương trình**:
Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có thể giải tìm giá trị \( x \) và \( y \) thỏa mãn điều kiện trên.

**Kết luận**:
Bài toán sẽ cho ta một tập hợp các giá trị cho điểm \( M \) trong tứ giác lồi \( ABCD \) tùy thuộc vào các tọa độ cụ thể của các điểm \( A, B, C, D \). Bạn có thể sử dụng mô hình đồ thị hoặc các phương pháp hình học khác để xác định cụ thể hơn điểm \( M \).