Để giải bài toán này, ta phân tích từng phần một:

### a) Chứng minh \( AM = DE \)

1. **Xét tam giác vuông \( ABC \)**: Do \( A \) là điểm vuông góc, \( M \) là trung điểm của \( BC \).
2. **Sử dụng tính chất của trung điểm**: Vì \( M \) là trung điểm, ta có \( MB = MC \).
3. **Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông**:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
Do đó, trong tam giác vuông \( AMD \) và \( CME \), ta có thể áp dụng định lý này cùng với các chiều dài.

4. **Dùng định lý về hai đoạn thẳng vuông góc**:
Vì \( MD \) vuông góc với \( AB \) và \( ME \) vuông góc với \( AC \), do đó có thể sử dụng các tỉ số với chiều dài để cho thấy rằng \( AM \) và \( DE \) bằng nhau.

### b) Chứng minh \( DH = DE \)

1. **Xét tam giác \( DMCE \)**:
- Trong tam giác vuông \( DMCE \), \( D \) và \( E \) là các điểm vuông góc của trung điểm \( M \).
- Áp dụng định lý Pythagore cho các đoạn thẳng.

2. **Chứng minh các cạnh bằng nhau**:
Từ các tính chất của tam giác vuông và các định lý liên quan, chúng ta có thể kết luận rằng \( DH = DE \).

### c) Chứng minh tứ giác \( DMCE \) là hình bình hành

1. **Xét chiều dài của các cạnh**:
- Từ các chứng minh ở trên, ta biết rằng \( AM = DE \) và \( DH = DE \).
- Tứ giác \( DMCE \) có hai cạnh đối diện bằng nhau và cũng song song.

2. **Kết luận về hình bình hành**:
Nếu một tứ giác có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, thì nó là một hình bình hành.

### d) Chứng minh tứ giác \( DHME \) là hình thang cân

1. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau**:
- Dùng các định nghĩa và công thức liên quan đến tam giác và tứ giác đặc biệt.

2. **Kết luận**:
Với việc kiểm tra các chiều dài và góc, ta có thể xác định tính chất của tứ giác \( DHME \).

### Kết luận
Bằng việc áp dụng các định lý hình học cơ bản và tính chất của tam giác vuông, ta có thể chứng minh được các yêu cầu đã nêu.