Xét các số \( x, y \) thoả mãn \( x^2 + y^2 = 1 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = 2x + y^3 \)

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = 2x + y^3 \) với điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \), chúng ta có thể thay thế \( y \) bằng \( \sqrt{1 - x^2} \).

Biểu thức \( P \) trở thành:
\[
P = 2x + (\sqrt{1 - x^2})^3 = 2x + (1 - x^2)^{3/2}
\]
Chúng ta cần tối ưu hóa \( P \) với biến \( x \) nằm trong khoảng từ \(-1\) đến \(1\).

### Bước 1: Tính đạo hàm
Tính đạo hàm bậc nhất của \( P \) theo \( x \):
\[
P' = 2 + \frac{3(1 - x^2)^{1/2}(-x)}{(1 - x^2)}
\]
Simplifying, we get:
\[
P' = 2 - \frac{3x}{(1 - x^2)^{1/2}}
\]

### Bước 2: Giải phương trình \( P' = 0 \)
Đặt \( P' = 0 \):
\[
2 - \frac{3x}{(1 - x^2)^{1/2}} = 0
\]
\[
\frac{3x}{(1 - x^2)^{1/2}} = 2
\]
\[
3x = 2(1 - x^2)^{1/2}
\]
Bình phương cả hai bên và giải:
\[
9x^2 = 4(1 - x^2)
\]
\[
9x^2 + 4x^2 = 4
\]
\[
13x^2 = 4 \implies x^2 = \frac{4}{13} \implies x = \pm \frac{2}{\sqrt{13}}
\]

### Bước 3: Tính giá trị của \( y \)
Từ \( x^2 + y^2 = 1 \):
\[
y^2 = 1 - x^2 = 1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13} \implies y = \pm \frac{3}{\sqrt{13}}
\]

### Bước 4: Tìm \( P \) tại các giá trị \( x \) và \( y \)
Xét các trường hợp \( (x, y) = \left(\frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}}\right) \) và \( \left(-\frac{2}{\sqrt{13}}, -\frac{3}{\sqrt{13}}\right) \):

\[
P\left(\frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}}\right) = 2\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) + \left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)^3
\]

Tính giá trị \( P \):
\[
P\left(\frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}}\right) = \frac{4}{\sqrt{13}} + \frac{27}{13\sqrt{13}} = \frac{52 + 27}{13\sqrt{13}} = \frac{79}{13\sqrt{13}} \approx 1.92
\]

Xét trường hợp tại các điểm biên \( x = 1, y = 0 \) và \( x = -1, y = 0 \):
- \( P(1, 0) = 2 \)
- \( P(-1, 0) = -2 \)

### Kết luận

Giá trị lớn nhất của \( P = 2x + y^3 \) là \( 2 \) khi \( x = 1, y = 0 \).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) là \( \boxed{2} \).