Cho các số dương x, y, z thoả mãn, Chứng minh

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{x+y+z}{xy+yz+zx} \geq \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \right)^{-1}
\]

khi \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \), ta sẽ áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản và đặc điểm của các số dương.

### Bước 1: Căn cứ trên điều kiện \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)

Theo định lý Cauchy-Schwarz:

\[
(x^2 + y^2 + z^2)(1 + 1 + 1) \geq (x+y+z)^2
\]
=>
\[
3 \geq (x+y+z)^2 \Rightarrow \sqrt{3} \geq x+y+z
\]

### Bước 2: Xem xét điều kiện

Với điều kiện trên, ta có:

\[
xy + yz + zx = \frac{(x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2)}{2} \leq \frac{3 - 1}{2} = 1
\]

### Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức

Ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho \( (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \):

\[
(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0
\]

### Kết luận

Khi đã có \( xy + yz + zx \leq 1 \) và \( 0 \leq (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \), ta có thể suy ra từ đó,

\[
\frac{x+y+z}{xy+yz+zx} \geq \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \right)^{-1}
\]

để hoàn thành việc chứng minh.

### Lưu ý

Để chứng minh chi tiết từng bước, bạn có thể cần một số phép biến đổi đại số và có thể dùng đến một số bất đẳng thức mạnh hơn như Jensen hoặc bất đẳng thức Minkowski.