Chúng ta có thể tính tổng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} \) bằng cách sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

### Bước 1: Tính tổng \( A \)

Cấp số nhân này có 19 số hạng, bắt đầu từ \( 2^1 \) đến \( 2^{20} \).

Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \( a = 2 \) (số hạng đầu),
- \( r = 2 \) (công bội),
- \( n = 20 - 1 = 19 \) (số hạng).

Áp dụng vào công thức:

\[
A = 2 \frac{1 - 2^{20}}{1 - 2} = 2 \frac{1 - 2^{20}}{-1} = 2^{21} - 2
\]

### Bước 2: Chứng minh các yêu cầu

#### a) Chứng minh \( A \) chia hết cho 2

\[
A = 2^{21} - 2 = 2(2^{20} - 1)
\]

Rõ ràng \( A \) chia hết cho 2.

#### b) Chứng minh \( A \) chia hết cho 3

Tính \( A \mod 3 \):

\[
2 \equiv 2 \mod 3 \\
2^2 \equiv 1 \mod 3 \\
2^3 \equiv 2 \mod 3 \\
2^4 \equiv 1 \mod 3 \\
\ldots
\]

Cứ như vậy, sẽ có chu kỳ \( 2, 1 \) (với độ dài 2).

Từ \( 2^1 \) đến \( 2^{20} \) có 20 số hạng. Số hạng lẻ (10 số hạng) sẽ là \( 2 \) và số hạng chẵn (10 số hạng) sẽ là \( 1 \).

Tính tổng:

\[
10 \cdot 2 + 10 \cdot 1 = 20 + 10 = 30 \equiv 0 \mod 3
\]

Như vậy, \( A \) chia hết cho 3.

#### c) Chứng minh \( A \) chia hết cho 5

Tính \( A \mod 5 \):

\[
2 \equiv 2 \mod 5 \\
2^2 \equiv 4 \mod 5 \\
2^3 \equiv 3 \mod 5 \\
2^4 \equiv 1 \mod 5 \\
\ldots
\]

Cứ như vậy, sẽ có chu kỳ \( 2, 4, 3, 1 \) (với độ dài 4).

Từ \( 2^1 \) đến \( 2^{20} \) có 20 số hạng, và số hạng trong mỗi chu kỳ:

- 5 lần \( 2 \)
- 5 lần \( 4 \)
- 5 lần \( 3 \)
- 5 lần \( 1 \)

Tính tổng các phần dư:

\[
5(2 + 4 + 3 + 1) = 5 \times 10 = 50 \equiv 0 \mod 5
\]

Như vậy, \( A \) chia hết cho 5.

### Kết luận
Nên ta có:
- \( A \) chia hết cho 2.
- \( A \) chia hết cho 3.
- \( A \) chia hết cho 5.