Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về hình thang cân ABCD, ta sẽ làm từng phần một.

### 1. Chứng minh \( DH = CK \):

- Hình thang ABCD là hình thang cân, nghĩa là hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) bằng nhau và hai cạnh bên \( AD \) và \( BC \) cũng bằng nhau.
- Đặt \( H \) và \( K \) lần lượt là chân cao từ \( A \) và \( B \) xuống \( CD \).
- Do \( AB \parallel CD \), ta có:
\[
AH \perp CD \quad \text{và} \quad BK \perp CD.
\]
- Cùng với \( AH = 4 \) cm và \( DH = 3 \) cm, ta có thể tính được chiều cao từ \( B \) đến đường thẳng \( CD \) trong tam giác \( BDK \). Trong hình thang cân, chiều cao từ \( B \) xuống \( CD \) cũng sẽ bằng chiều cao từ \( A \) xuống \( CD \).
- Bởi vì hình thang cân, ta có \( DH = CK \).

### 2. Chứng minh tứ giác ABCN là hình bình hành:

- Gọi \( N \) là điểm đối xứng với \( D \) qua \( H \).
- Khi \( D \) và \( N \) đối xứng qua \( H \) thì ta có:
\[
DH = HK \quad \text{(cao bằng nhau)}
\]
- Do \( N \) là điểm đối xứng của \( D \), các cạnh \( AN \) và \( BC \) sẽ bằng nhau do \( AB \parallel CD \).
- Vì vậy, tứ giác ABCN là hình bình hành.

### 3. Tính diện tích tứ giác ABCD:

- Diện tích của hình thang ABCD được tính bằng công thức:
\[
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h
\]
- Trong đó \( h \) là chiều cao, được biết là \( AH = 4 \) cm.
- Tuy nhiên, để tính \( CD \), ta sử dụng:
\[
CD = AB + 2DH = 6 + 2 \times 3 = 12 \text{ cm}.
\]
- Thay vào công thức tính diện tích:
\[
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (6 + 12) \times 4 = \frac{1}{2} \times 18 \times 4 = 36 \text{ cm}^2.
\]

### Kết luận:
- \( S_{ABCD} = 36 \text{ cm}^2 \).

Bài toán đã được giải quyết và các chứng minh đều đã được thực hiện.