Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình. Gọi:

- \( x \) là số kg sản phẩm loại 1 cần sản xuất.
- \( y \) là số kg sản phẩm loại 2 cần sản xuất.

Dựa vào thông tin đã cho, ta có các phương trình và bất đẳng thức như sau:

### 1. Phân tích:

**Nguyên liệu:**
- Mỗi sản phẩm loại 1 cần 2 kg nguyên liệu.
- Mỗi sản phẩm loại 2 cần 4 kg nguyên liệu.
- Tổng nguyên liệu có là 200 kg.

Vậy ta có phương trình nguyên liệu:

\[
2x + 4y \leq 200
\]

**Thời gian làm việc:**
- Mỗi sản phẩm loại 1 cần 30 giờ.
- Mỗi sản phẩm loại 2 cần 15 giờ.
- Tổng thời gian làm việc có là 120 giờ.

Vậy ta có phương trình thời gian:

\[
30x + 15y \leq 120
\]

### 2. Lợi nhuận:
- Lợi nhuận từ sản phẩm loại 1 là 40.000 đồng/kg.
- Lợi nhuận từ sản phẩm loại 2 là 30.000 đồng/kg.

Vậy hàm lợi nhuận cần tối đa hóa là:

\[
Z = 40000x + 30000y
\]

### 3. Giới hạn những giá trị cho \( x \) và \( y \):

Bây giờ, ta sẽ giải tập hợp các bất đẳng thức:

**Bất đẳng thức nguyên liệu:**

\[
x + 2y \leq 100 \quad (1)
\]

**Bất đẳng thức thời gian:**

\[
2x + y \leq 8 \quad (2)
\]

**Không âm:**

\[
x \geq 0
\]
\[
y \geq 0
\]

### 4. Giải hệ bất phương trình:

**Tìm các điểm giao nhau của các đường thẳng:**
1. Giải phương trình (1) và (2):

Từ (1): \( y = 50 - 0.5x \)

Thay vào (2):

\[
2x + (50 - 0.5x) = 8
\]

\[
-> 1.5x = -42 \quad (không có nghiệm dương)
\]

2. Tìm giao điểm với các trục tọa độ:
- Khi \( x = 0 \) -> từ (1): \( y = 50 \) -> điểm (0, 50).
- Khi \( y = 0 \) -> từ (1): \( x = 100 \) -> điểm (100, 0).
- Khi \( x = 0 \) -> từ (2): \( y = 8 \) -> điểm (0, 8).
- Khi \( y = 0 \) -> từ (2): \( x = 4 \) -> điểm (4, 0).

### 5. Tính toán lợi nhuận tại các điểm cực trị:
- Tại (0, 8): \( Z = 40000(0) + 30000(8) = 240000 \)
- Tại (4, 0): \( Z = 40000(4) + 30000(0) = 160000 \)
- Tại (0, 50): \( Z = 40000(0) + 30000(50) = 1500000 \) (Đã vượt giới hạn)
- Tại (100, 0): \( Z = 40000(100) + 30000(0) = 4000000 \) (Đã vượt giới hạn)

### 6. Kết luận:

Điểm sản xuất tối ưu để có lợi nhuận cao nhất là:

- Sản xuất \( x = 4 \) kg sản phẩm loại 1 và \( y = 0 \) kg sản phẩm loại 2, và tổng lợi nhuận là 160.000 đồng.

Nên sản xuất 4 kg sản phẩm loại 1 để có mức lợi nhuận cao nhất.