Để giải bất phương trình \(\left(-\frac{1}{2}\right)^{-4} \left(-\frac{1}{3}\right)^{-4} < x^2 < 1444\), ta cần tính giá trị bên trái trước.

1. **Tính \(\left(-\frac{1}{2}\right)^{-4}\)**:
\[
\left(-\frac{1}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}
\]

2. **Tính \(\left(-\frac{1}{3}\right)^{-4}\)**:
\[
\left(-\frac{1}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}
\]

3. **Tính tích**:
\[
\left(-\frac{1}{2}\right)^{-4} \left(-\frac{1}{3}\right)^{-4} = \frac{1}{16} \times \frac{1}{81} = \frac{1}{1296}
\]

4. **Bây giờ ta có bất phương trình**:
\[
\frac{1}{1296} < x^2 < 1444
\]

5. **Giải các điều kiện**:
- Từ \(x^2 < 1444\):
\[
x < \sqrt{1444} = 38
\]
- Từ \(\frac{1}{1296} < x^2\):
\[
x > \sqrt{\frac{1}{1296}} = \frac{1}{36}
\]

Vì \(x\) là số nguyên dương, ta có \(x \geq 1\).

Kết hợp hai điều kiện, ta có:
\[
1 \leq x < 38
\]
Vậy các giá trị nguyên dương thỏa mãn là từ \(1\) đến \(37\).

Kết quả cuối cùng là:
\[
\boxed{37}
\]