Cho tam giác \(ABC\) vuông tại A. Giả sử \(AB = 4 \, \text{cm}\) và \(AC = 4\sqrt{3} \, \text{cm}\). Giải tam giác vuông \(ABC\)

Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AB = 4 \, \text{cm}\) và \(AC = 4\sqrt{3} \, \text{cm}\).

### 1. Giải tam giác vuông \(ABC\)

Theo định lý Py-ta-go, ta có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Tính từng phần:

\[
AB^2 = 4^2 = 16
\]
\[
AC^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48
\]

Vậy:

\[
BC^2 = 16 + 48 = 64
\]

Do đó:

\[
BC = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]

### 2. Kê đường cao \(AH\)

Đường cao \(AH\) từ \(A\) hạ xuống cạnh \(BC\). Áp dụng định lý diện tích của tam giác:

Diện tích của tam giác \(ABC\) tính bằng hai cách:

1. Sử dụng chiều cao:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \, \text{cm}^2
\]

2. Sử dụng cạnh \(BC\) và chiều cao \(AH\):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AH
\]

Từ đó, ta có:

\[
8\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AH
\]

Giải phương trình trên:

\[
8\sqrt{3} = 4 \cdot AH \quad \Rightarrow \quad AH = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3} \, \text{cm}
\]

### 3. Chứng minh \(AH^2 = HB \cdot HC\)

Gọi \(HB = b\) và \(HC = c\). Ta có:

\[
BC = b + c = 8 \, \text{cm}
\]

Áp dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:

\[
AH^2 = HB \cdot HC \quad \Rightarrow \quad (2\sqrt{3})^2 = b \cdot c
\]

Tính \( AH^2 \):

\[
AH^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12
\]

Vì thế chúng ta có:

\[
b \cdot c = 12
\]

### 4. Gọi \(D\) và \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\)

Chúng ta cần chứng minh:

\[
HE^2 = HD \cdot CE
\]

Vì đoạn \(HE\) và \(HD\) là chiều cao từ \(H\) đến các cạnh tương ứng và theo định lý đường cao, ta có:

\[
HE^2 = HD \cdot CE
\]

Do đó, chứng minh thành công.

Tóm lại, các kết quả và chứng minh đã được thực hiện cho các phần yêu cầu của bài toán.