Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), đường cao BH, CK cắt nhau tại E. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D. Chứng minh: Tứ giác BDCE là hình gì? Vì sao? Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: E, M, D thẳng hàng. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AE tại I. Chứng minh: tứ giác BCDI là hình thang cân

Để chứng minh các phần trong bài toán này, ta sẽ tiến hành như sau:

### 1a) Chứng minh: Tứ giác BDCE là hình gì? Vì sao?

Tứ giác BDCE là hình bình hành.

**Chứng minh:**
- \( BD \) vuông góc với \( AB \) tại \( B \) và \( CE \) vuông góc với \( AC \) tại \( C \).
- Do đó, \( BD \parallel CE \) và \( BD \) đồng thời là đường vuông góc với \( AB \) (một đường thẳng) nên \( BD \) và \( CE \) là hai đường song song.
- Tương tự, \( BE \) vuông góc với \( AC \) và \( CD \) vuông góc với \( AB \) tại \( D \), do đó \( BE \parallel CD \).

Vì vậy, \( BDCE \) là hình bình hành.

### 1b) Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh: \( E, M, D \) thẳng hàng.

**Chứng minh:**
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), nghĩa là \( BM = MC \).
- Xét hai tam giác \( BDE \) và \( CDE \):
- Do \( BDCE \) là hình bình hành, \( BE = CD \) và \( \widehat{BDE} = \widehat{CDE} \).

Vì vậy, tam giác \( BDE \) bằng tam giác \( CDE \) (cùng đáy và chiều cao), suy ra \( M \) là một điểm trên đường thẳng \( ED \). Do đó, \( E, M, D \) thẳng hàng.

### 2) Qua \( D \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( AE \) tại \( I \). Chứng minh: tứ giác \( BCDI \) là hình thang cân.

**Chứng minh:**
- Đoạn thẳng \( DI \) vuông góc với \( AE \) tại \( I \).
- Xét góc \( \widehat{BDE} \) và \( \widehat{CDE} \), ta thấy \( \widehat{BDE} = \widehat{CDE} \) (do dụng hình bình hành).
- Do đó, \( \widehat{BID} = \widehat{CID} \).

Kết luận rằng \( BC \) song song với \( DI \) và \( BCDI \) là hình thang cân.

### Tổng kết
- Tứ giác \( BDCE \) là hình bình hành.
- \( E, M, D \) thẳng hàng.
- Tứ giác \( BCDI \) là hình thang cân.