Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), đường cao BH, CK cắt nhau tại E. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D. Chứng minh: Tứ giác BDCE là hình gì? Vì sao?

Để chứng minh tứ giác \( BDCE \) là hình gì, ta tiến hành như sau:

1. **Chứng minh tứ giác \( BDCE \) là hình chữ nhật:**

- Từ điều kiện đề bài, ta biết rằng:
- Đường thẳng \( BD \) vuông góc với \( AB \) tại điểm \( B \).
- Đường thẳng \( CE \) vuông góc với \( AC \) tại điểm \( C \).

- Do đó, ta có:
\[
\angle ABD = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle ACE = 90^\circ
\]

- Để chứng minh \( BDCE \) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai đường chéo \( BE \) và \( DC \) bằng nhau. Theo tính chất của hình chữ nhật, chúng cũng sẽ cắt nhau tại trung điểm.

- Vì \( BH \) và \( CK \) là đường cao của tam giác, nên \( E \) là giao điểm của hai đường cao, cắt nhau tại một điểm trong tam giác nhọn.

- Giả sử \( M \) là trung điểm của \( BC \). Từ tính đối xứng và tính chất của tam giác nhọn, ta có thể suy ra rằng:
- \( BM = MC \).

- Do đó, \( BDCE \) là hình chữ nhật vì có hai cặp góc vuông ở \( B \) và \( C \).

2. **Ký hiệu trung điểm và chứng minh tứ giác \( BCDI \) là hình thang cân:**

- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Ta cần chứng minh rằng \( EM \parallel DC \) và bằng nhau.
- Từ đó, hình thang \( BCDI \) sẽ có hai cạnh \( BC \) và \( DI \) song song với nhau.

- Với \( D \) đã được xác định là giao điểm và các cạnh còn lại song song do tính chất đường cao, ta hoàn toàn có thể khẳng định \( BCDI \) là hình thang cân.

Như vậy, tứ giác \( BDCE \) là hình chữ nhật và tứ giác \( BCDI \) là hình thang cân nhờ vào cách chứng minh trên.