Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Gọi M, N là trung điểm của OD, OB. AM cắt CD tại E, CN cắt AB tại F. Chứng minh AMCN là hình bình hành

Để chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tứ giác trong hình học.

**Chứng minh AMCN là hình bình hành:**

1. **Xét các điểm M và N:**
- M là trung điểm của OD.
- N là trung điểm của OB.

Vậy theo định nghĩa, có:
\[
OM = MD \quad \text{và} \quad ON = NB
\]

2. **Chứng minh đoạn AM song song với đoạn CN:**
- Xét tam giác AOB. Theo định lý trung tuyến, ta có:
\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AO}{OB} \quad \text{(vì M là trung điểm của OD)}
\]
- Tương tự, xét tam giác COD, ta có:
\[
\frac{CN}{ND} = \frac{CO}{OD} \quad \text{(vì N là trung điểm của OB)}
\]
- Do tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có \(AO = OC\) và \(BO = OD\).
- Suy ra, \(AM \parallel CN\).

3. **Chứng minh đoạn AC song song với đoạn BD:**
- Xét hai đoạn AC và BD. Từ định lý về vị trí giao nhau của các đường chéo trong hình bình hành, ta cũng thấy:
\[
AC \parallel BD
\]

4. **Suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành:**
- Vì AM // CN và AC // BD, theo định nghĩa của hình bình hành, suy ra AMCN là hình bình hành.

**Kết luận:**
Tứ giác AMCN là hình bình hành.

**Tiếp theo:**

b) Từ chứng minh trên, vì O là trung điểm của EF (vì M và N là các trung điểm của OD và OB), nên O là trung điểm của EF.

c) Đoạn AC và BD là các đoạn đối diện trong tứ giác AMCN, chúng sẽ đồng quy tại điểm O.

d) Để tứ giác AMCN là hình chữ nhật, cần điều kiện thêm là độ dài hai đoạn AM và CN phải bằng nhau, tức là:
\[
AM = CN
\]
Điều đó tương đương với việc góc AOM và góc CON phải bằng 90 độ.