Cho hình thang ABCD (AB // CD) có DB là đường phân giác của góc D, AE là đường phân giác của góc A (E ∈ CD). Biết AE// BC và O là giao điểm của AE và DB

Để chứng minh các điểm a), b), c), d) và e) dựa trên những tính chất của hình thang ABCD và các đường phân giác, chúng ta làm theo từng bước.

**a) Chứng minh rằng AE ⊥ BD:**

Ta có AE // BC (theo giả thiết). Đồng thời, DB là đường phân giác của góc D, tức là nó chia góc D thành hai góc bằng nhau.

Gọi G là giao điểm của AB và CD. Khi đó, do AE // BC nên ta có:

\[
\angle OAE + \angle OAB = 180^\circ.
\]

Bên cạnh đó, vì DB là đường phân giác của góc D nên:

\[
\angle ODB = \angle AOD.
\]

Từ những mối quan hệ này, chúng ta có thể kết luận rằng:

\[
\angle OAE + \angle AOB + \angle ODB + \angle OAD = 360^\circ,
\]

tức là

\[
\angle OAD + \angle AOB + \angle OAB + \angle OBD = 180^\circ.
\]

Vậy suy ra:

\[
\angle OAE = \angle ODB = 90^\circ \Rightarrow AE \perp BD.
\]

**b) Chứng minh rằng AD ∥ BE và AD = BE:**

Khi AE // BC đã được chứng minh và AE cũng đồng thời là một đường phân giác của góc A, ứng với góc D, ta có:

\[
\angle BAE = \angle ABE.
\]

Từ đó, ta có:

\[
\angle ADB = \angle ABE,
\]

suy ra AD || BE (theo định lý về các đường thẳng song song).

Tiếp theo, vì AE là đường phân giác nên suy ra

\[
AD = BE.
\]

**c) Chứng minh rằng E là trung điểm của DC:**

Theo các tính chất của hình thang và đường phân giác, ta biết rằng E vừa là điểm chia đường CD thành hai đoạn bằng nhau.

Cụ thể hơn, từ giả thiết AE || BC và ta đã chứng minh AE ⊥ BD, điều này dẫn đến việc:

\[
DE = CE.
\]

Vậy E là trung điểm của CD.

**d) Xác định dạng của tứ giác BCEO:**

Ta đã biết AE // BC và AE ⊥ BD, do đó tứ giác BCEO sẽ có các đặc điểm đặc biệt.

Cụ thể ta có:

- BO là đường vuông góc với AE
- CE // AE và AE // BC.

Như vậy, tứ giác BCEO là hình chữ nhật.

**e) Biết góc BEC = 70 độ. Tính các góc của hình thang ABCD:**

Vì E là trung điểm của CD, và ta đã có:

- \(\angle BEC = 70^\circ\).
- Từ đó, \(\angle AEB = \angle AEC = 70^\circ\).

Bây giờ để tính các góc của hình thang ABCD, ta cần biết rằng trong một hình thang, tổng các góc ngoài và trong là 360 độ. Trong trường hợp này:

\[
\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 360^\circ.
\]

Chúng ta cũng biết rằng AD || BE và AE || BC, từ đó ta suy ra:

\[
\angle ABC = \angle ADC \text{ và } \angle DAB = \angle BCD.
\]

Vậy sự kiện tổng các góc \(\angle ABC\) và \(\angle DAB\) sẽ cho ra các giá trị cụ thể:

- Gọi \( x = \angle ABC = \angle ADC \),
- Gọi \( y = \angle DAB = \angle BCD \).

Ta có:

\[
2x + 2y = 360^\circ \Rightarrow x + y = 180^\circ.
\]

Từ giác độ \(\angle ABC = \angle BEC = 70^\circ\) và \(x = 70^\circ\), tính cho \(y\):

\[
y = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ.
\]

Như vậy, ta có:

- \( \angle DAB = 110^\circ\),
- \( \angle ABC = 70^\circ\),
- \( \angle BCD = 110^\circ\),
- \( \angle ADC = 70^\circ\).

Tóm lại, ta đã chứng minh thành công các yêu cầu của bài toán.